Questão 7. Qual das funções abaixo não é contínua no ponto x0=2 ?
a f(x)=ll2^x, & x<2, x^2, & x >= 2
b f(x)=cc-x^2+3 x, & x<2, x, & x >= 2
c) f(x)= 3 x^2-12, & x <= 2, sen(x-2), & x>2
d f(x)=cctg(pi x)+2 x, & x <= 2, x+2, & x>2
e Todas as funções dadas são contínuas em x0=2.

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual das funções definidas por partes não é contínua no ponto x₀=2, usando o conteúdo de continuidade de funções e cálculo de limites laterais.

Passo 2

Uma função f é contínua em x₀ se satisfaz:
limxto x₀^-f(x)=limxto x₀^+f(x)=f(x₀) Vamos aplicar essa definição em cada caso.

Passo 3

Para a letra a, temos
f(x)= 2^x,&x<2,x^2,&x>=2
Calcular limites laterais e valor:
limxto2^-2^x=2^2=4,
limxto2^+x^2=2^2=4 e f(2)=2^2=4. Coincidem, logo é contínua.

Passo 4

Para a letra b, f(x)= -x^2+3x,&x<2,x,&x>=2
limxto2^-(-2^2+3cdot2)=-4+6=2,
limxto2^+x=2 e f(2)=2. São iguais, logo é contínua.

Passo 5

Para a letra c, f(x)= 3x^2-12,&x<=2,sin(x-2),&x>2
limxto2^-(3cdot2^2-12)=12-12=0,
limxto2^+sin(x-2)=sin0=0 e f(2)=3cdot2^2-12=0. Portanto, contínua.

Passo 6

Para a letra d, f(x)= tan(pi x)+2x,&x<=2,x+2,&x>2
limxto2^-(tan(2pi)+4)=0+4=4,
limxto2^+(x+2)=4 e f(2)=tan(2pi)+4=4. Como tan(pi x) não tem descontinuidade em x=2, f é contínua.

Passo 7

Em todos os casos os limites laterais coincidem com o valor da função em x₀=2, logo todas as funções são contínuas nesse ponto.

Resposta

e) Todas as funções dadas são contínuas em x0=2.

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