Calcular o volume gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos das equações, y=x^2 e y=x+2 em torno da reta x=3.

Passo 1

A questão pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pelas curvas y = x^2 e y = x + 2 em torno da reta x = 3. O conteúdo envolve cálculo de volume de revolução e vamos usar o método das cascas cilíndricas, pois giramos em torno de uma reta vertical.

Passo 2

Para montar a integral, primeiro achamos os pontos de interseção das curvas resolvendo x^2 = x + 2:
x^2 - x - 2 = 0 x = 1 pm raiz1 + 82 = 2 ;ou;-1
Assim a região vai de x=-1 até x=2.

Passo 3

Como o eixo de rotação é vertical em x = 3, usamos cascas cilíndricas. A fórmula é
V = 2pi integrala^b (raio),(a
Aqui o raio de uma casca em x é 3 - x e a altura é a diferença entre as curvas: (x+2) - x^2.

Passo 4

O volume fica então
V = 2pi integral-1^2 (3 - x)l((x+2) - x^2r),dx

Passo 5

Expandindo o integrando:
(3 - x)(x + 2 - x^2) = x^3 - 4x^2 + x + 6

Passo 6

Calculamos a integral do polinômio:
integral-1^2 (x^3 - 4x^2 + x + 6),dx = l[tfracx^44 - tfrac4x^33 + tfracx^22 + 6xr]-1^2 = tfrac454

Passo 7

Multiplicando pelo fator 2pi:
V = 2pi cdot tfrac454 = tfrac45pi2

Resposta

tfrac45pi2

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