Calcular o volume gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos das equações,
e
em torno da reta
.
Passo 1
A questão pede o volume do sólido obtido ao girar a região limitada pelas curvas
e
em torno da reta
. O conteúdo envolve cálculo de volume de revolução e vamos usar o método das cascas cilíndricas, pois giramos em torno de uma reta vertical.
Passo 2
Para montar a integral, primeiro achamos os pontos de interseção das curvas resolvendo
:
Assim a região vai de
até
.
Passo 3
Como o eixo de rotação é vertical em
, usamos cascas cilíndricas. A fórmula é
Aqui o raio de uma casca em
é
e a altura é a diferença entre as curvas:
.
Passo 4
O volume fica então
Passo 5
Expandindo o integrando:
Passo 6
Calculamos a integral do polinômio:
Passo 7
Multiplicando pelo fator
: