Determine se a série é convergente ou divergente:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - Quer-se saber convergência (somatória finita) ou divergência.
Passo 2
Primeiro fato importante (teste necessário): se uma série converge então o termo geral tem que tender a zero:
Portanto é útil verificar o comportamento de
quando
. Como
é uma potência com expoente que cresce com
, o teste da raiz (root test) é uma escolha natural aqui, pois simplifica potências da forma
.
Passo 3
Aplicar o teste da raiz: calculemos
Note que
Agora calculemos o limite da base:
Portanto
Passo 4
Interpretação do resultado do teste da raiz:
- Se
então a série converge absolutamente. - Se
então a série diverge. - Se
o teste é inconclusivo.
Como aqui
, pelo teste da raiz a série diverge.
Passo 5
Comentário adicional (intuição e checagem): o valor
indica que
cresce geometricamente. Podemos ver isso também examinando
:
Usando
para
grande, obtemos
, que tende a
. Logo
e, em particular,
, o que também já garante divergência da série pelo teste do termo geral.
Resposta
Divergente