Determine se a série é convergente ou divergente:
(b) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-2 n}{n+1}\right)^{5 n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-2 n}{n+1}\right)^{5 n}
é convergente ou divergente. Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\left(\dfrac{-2 n}{n+1}\right)^{5 n}.
  • Quer-se saber convergência (somatória finita) ou divergência.

Passo 2

Primeiro fato importante (teste necessário): se uma série converge então o termo geral tem que tender a zero:
\text{se }\sum a_n \text{ converge então }\lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Portanto é útil verificar o comportamento de a_n quando n\to\infty. Como a_n é uma potência com expoente que cresce com n, o teste da raiz (root test) é uma escolha natural aqui, pois simplifica potências da forma (\cdot)^{n}.

Passo 3

Aplicar o teste da raiz: calculemos
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}.
Note que
\sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\sqrt[n]{\left(\frac{2 n}{n+1}\right)^{5 n}}=\left(\frac{2 n}{n+1}\right)^{5}.
Agora calculemos o limite da base:
\lim_{n\to\infty}\frac{2 n}{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{1+1/n}=2.
Portanto
L=\left(\lim_{n\to\infty}\frac{2 n}{n+1}\right)^{5}=2^{5}=32.

Passo 4

Interpretação do resultado do teste da raiz:
  • Se L<1 então a série converge absolutamente.
  • Se L>1 então a série diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
Como aqui L=32>1, pelo teste da raiz a série diverge.

Passo 5

Comentário adicional (intuição e checagem): o valor L=32>1 indica que |a_n| cresce geometricamente. Podemos ver isso também examinando \ln|a_n|:
\ln|a_n|=5n\ln\!\left(\frac{2n}{n+1}\right)=5n\Bigl(\ln 2-\ln(1+1/n)\Bigr)=5n\ln 2 -5n\ln(1+1/n).
Usando \ln(1+1/n)\sim 1/n para n grande, obtemos \ln|a_n|\sim 5n\ln 2 -5, que tende a +\infty. Logo |a_n|\to\infty e, em particular, a_n\not\to 0, o que também já garante divergência da série pelo teste do termo geral.

Resposta

Divergente

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