Sejam
três vetores quaisquer.
(a)
Mostre que
(b)
Um estudante afirma que
Você concorda ou discorda? Justifique.
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.
(a)
Passo 1
O enunciado dá três vetores quaisquer
e pede duas coisas:
- (a) Mostrar a identidade
- (b) Verificar se a afirmação
é correta, concordando ou discordando e justificando.
Informações relevantes dadas:
são vetores em
. Não há outros dados numéricos.
Passo 2
Estratégia para (a): vou provar a identidade componente a componente usando a notação de índices e o símbolo de Levi-Civita
. Antes, explico o que são esses objetos (sem assumir que você já domina).
- O produto vetorial de dois vetores
tem componentes
onde soma-se sobre índices repetidos (convenção de soma de Einstein). Aqui
é o símbolo totalmente anti-simétrico (Levi-Civita): vale
para permutações pares de
,
para permutações ímpares e
se dois índices são iguais.
- O delta de Kronecker
é definido por se e se . Ele age como identidade: .
Uma identidade muito útil (padrão em álgebra vetorial) é
Vou usá-la na conta; se for novo pra você, pense nela como uma forma compacta de expressar relações entre determinantes/componentes.
Passo 3
Calculo a
-ésima componente do lado esquerdo de (a):
Agora expando
pela definição:
Substituindo:
Passo 4
Aplico a identidade entre dois
:
Portanto
Agora uso a ação do delta para simplificar as somas:
e
, etc. Assim
Reescrevendo em notação de produto escalar
e
, obtemos
Passo 5
Como as componentes
coincidem para os dois vetores, concluímos a identidade vetorial em
:
Comentário didático rápido: essa é a conhecida identidade “BAC−CAB” (às vezes escrita
). Serve para “abrir” um produto vetorial aninhado e é muito útil para simplificações.
Passo 6
Agora (b): analisar a afirmação do estudante
Vou simplificar a expressão do lado esquerdo aplicando a identidade do passo (5) duas vezes e usando propriedades simples do produto vetorial.
Passo 7
Primeiro aplico a identidade do passo (5) com os vetores
trocando a posição conforme necessário para calcular
. Usando a fórmula com
no lugar de
,
no lugar de
e
no lugar de
(ou simplesmente aplicando a fórmula direta):
Aqui
. Então
Passo 8
Agora calculo
. Substituo a expressão obtida:
O produto vetorial é linear, então:
Tirando escalares fora do produto vetorial:
Mas
(produto vetorial de um vetor por ele mesmo é zero). Portanto sobra
Passo 9
Por fim, faço o produto escalar com
:
Use a identidade do produto escalar com produto vetorial (produto misto ou triple scalar product):
Assim
Passo 10
Conclusão sobre (b): a igualdade dada pelo estudante é correta; o cálculo acima mostra passo a passo por que isso ocorre (aplicação da identidade de passo (a), linearidade do produto vetorial e a propriedade cíclica do produto misto).
Resposta
Concordo.