Sejam u, v, w \in \mathbb{R}^{3} três vetores quaisquer.
(a) (1,0) Mostre que
u \times(v \times w)=(u \cdot w) v-(u \cdot v) w .
(b) (1,0) Um estudante afirma que
u \times[u \times(u \times v)] \cdot w=-\|u\|^{2} u \cdot v \times w .
Você concorda ou discorda? Justifique.
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá três vetores quaisquer u,v,w\in\mathbb{R}^3 e pede duas coisas:
  • (a) Mostrar a identidade
u\times(v\times w)=(u\cdot w)\,v-(u\cdot v)\,w.
  • (b) Verificar se a afirmação
u\times\bigl[u\times(u\times v)\bigr]\cdot w=-\|u\|^{2}\,u\cdot(v\times w)
é correta, concordando ou discordando e justificando.
Informações relevantes dadas: u,v,w são vetores em \mathbb{R}^3. Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Estratégia para (a): vou provar a identidade componente a componente usando a notação de índices e o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk}. Antes, explico o que são esses objetos (sem assumir que você já domina).
  • O produto vetorial de dois vetores a,b\in\mathbb{R}^3 tem componentes
(a\times b)_i=\varepsilon_{ijk}\,a_j\,b_k,
onde soma-se sobre índices repetidos (convenção de soma de Einstein). Aqui \varepsilon_{ijk} é o símbolo totalmente anti-simétrico (Levi-Civita): vale +1 para permutações pares de (1,2,3), -1 para permutações ímpares e 0 se dois índices são iguais.
  • O delta de Kronecker \delta_{ij} é definido por \delta_{ij}=1 se i=j e \delta_{ij}=0 se i\ne j. Ele age como identidade: \delta_{ij} a_j = a_i.
Uma identidade muito útil (padrão em álgebra vetorial) é
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{k\ell m}=\delta_{i\ell}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{j\ell}.
Vou usá-la na conta; se for novo pra você, pense nela como uma forma compacta de expressar relações entre determinantes/componentes.

Passo 3

Calculo a i-ésima componente do lado esquerdo de (a):
\bigl(u\times(v\times w)\bigr)_i=\varepsilon_{ijk}\,u_j\,(v\times w)_k.
Agora expando (v\times w)_k pela definição:
(v\times w)_k=\varepsilon_{k\ell m}\,v_\ell\,w_m.
Substituindo:
\bigl(u\times(v\times w)\bigr)_i=\varepsilon_{ijk}\,u_j\,\varepsilon_{k\ell m}\,v_\ell\,w_m.

Passo 4

Aplico a identidade entre dois \varepsilon:
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{k\ell m}=\delta_{i\ell}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{j\ell}.
Portanto
\bigl(u\times(v\times w)\bigr)_i=(\delta_{i\ell}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{j\ell})\,u_j\,v_\ell\,w_m.
Agora uso a ação do delta para simplificar as somas: \delta_{i\ell}v_\ell=v_i e \delta_{jm}u_j=u_m, etc. Assim
\bigl(u\times(v\times w)\bigr)_i = u_j w_j\,v_i - u_j v_j\,w_i.
Reescrevendo em notação de produto escalar (u\cdot w)=u_j w_j e (u\cdot v)=u_j v_j, obtemos
\bigl(u\times(v\times w)\bigr)_i=(u\cdot w)\,v_i-(u\cdot v)\,w_i.

Passo 5

Como as componentes i=1,2,3 coincidem para os dois vetores, concluímos a identidade vetorial em \mathbb{R}^3:
u\times(v\times w)=(u\cdot w)\,v-(u\cdot v)\,w.
Comentário didático rápido: essa é a conhecida identidade “BAC−CAB” (às vezes escrita \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})). Serve para “abrir” um produto vetorial aninhado e é muito útil para simplificações.

Passo 6

Agora (b): analisar a afirmação do estudante
u\times\bigl[u\times(u\times v)\bigr]\cdot w=-\|u\|^{2}\,u\cdot(v\times w).
Vou simplificar a expressão do lado esquerdo aplicando a identidade do passo (5) duas vezes e usando propriedades simples do produto vetorial.

Passo 7

Primeiro aplico a identidade do passo (5) com os vetores u,(u,v) trocando a posição conforme necessário para calcular u\times(u\times v). Usando a fórmula com u no lugar de u, v no lugar de v e w no lugar de v (ou simplesmente aplicando a fórmula direta):
u\times(u\times v)=(u\cdot v)\,u-(u\cdot u)\,v.
Aqui (u\cdot u)=\|u\|^2. Então
u\times(u\times v)=(u\cdot v)\,u-\|u\|^2 v.

Passo 8

Agora calculo u\times\bigl[u\times(u\times v)\bigr]. Substituo a expressão obtida:
u\times\bigl[(u\cdot v)\,u-\|u\|^2 v\bigr].
O produto vetorial é linear, então:
u\times\bigl[(u\cdot v)\,u\bigr]-u\times\bigl[\|u\|^2 v\bigr].
Tirando escalares fora do produto vetorial:
(u\cdot v)\,u\times u-\|u\|^2\,u\times v.
Mas u\times u=0 (produto vetorial de um vetor por ele mesmo é zero). Portanto sobra
u\times\bigl[u\times(u\times v)\bigr] = -\|u\|^2\,u\times v.

Passo 9

Por fim, faço o produto escalar com w:
u\times\bigl[u\times(u\times v)\bigr]\cdot w = \bigl(-\|u\|^2\,u\times v\bigr)\cdot w = -\|u\|^2\,(u\times v)\cdot w.
Use a identidade do produto escalar com produto vetorial (produto misto ou triple scalar product):
(u\times v)\cdot w = u\cdot(v\times w).
Assim
u\times\bigl[u\times(u\times v)\bigr]\cdot w = -\|u\|^2\,u\cdot(v\times w).

Passo 10

Conclusão sobre (b): a igualdade dada pelo estudante é correta; o cálculo acima mostra passo a passo por que isso ocorre (aplicação da identidade de passo (a), linearidade do produto vetorial e a propriedade cíclica do produto misto).

Resposta

u\times(v\times w)=(u\cdot w)\,v-(u\cdot v)\,w.
Concordo. u\times\bigl[u\times(u\times v)\bigr]\cdot w=-\|u\|^{2}\,u\cdot(v\times w).

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