Exercício 3: O Desafio Misto (Produto dentro do Quociente)
Aplique as regras de derivação para encontrar a expressão de
para a seguinte função:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada
da função dada. A função fornecida é
Informações relevantes do enunciado:
- A função é uma fração cujo numerador é
e o denominador é . - Deve-se aplicar regras de derivação para obter
. - Não há outras restrições ou valores numéricos dados.
Passo 2
Estratégia (o que faremos, sem calcular ainda): escrever o numerador e o denominador como funções separadas,
calcular
e
e então aplicar a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para
,
Passo 3
Calcular
. Aqui
é produto de duas funções:
. Usamos a regra do produto, que afirma que, para
,
No nosso caso
e
.
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Calcular
. Como
e a derivada de
é
(e de constante é zero), temos
Passo 5
Aplicar a regra do quociente com os resultados
,
,
e
. Assim
Passo 6
Agora simplificar o numerador passo a passo.
Expandir o primeiro produto:
Subtrair o segundo termo do numerador:
Agrupar os termos com
:
Calcular
fatorado:
Portanto uma forma simplificada da derivada é