Exercício 3: O Desafio Misto (Produto dentro do Quociente)

Aplique as regras de derivação para encontrar a expressão de f^{\prime}(z) para a seguinte função:
f(z)=\frac{z \cdot \cos (z)}{z^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada f^{\prime}(z) da função dada. A função fornecida é
f(z)=\frac{z \cdot \cos(z)}{z^{2}+2}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é uma fração cujo numerador é z\cos(z) e o denominador é z^{2}+2.
  • Deve-se aplicar regras de derivação para obter f^{\prime}(z).
  • Não há outras restrições ou valores numéricos dados.

Passo 2

Estratégia (o que faremos, sem calcular ainda): escrever o numerador e o denominador como funções separadas,
u(z)=z\cos(z),\qquad v(z)=z^{2}+2,
calcular u'(z) e v'(z) e então aplicar a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para f(z)=\dfrac{u(z)}{v(z)},
f'(z)=\frac{u'(z)\,v(z)-u(z)\,v'(z)}{\bigl(v(z)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Calcular u'(z). Aqui u(z) é produto de duas funções: u(z)=z\cdot\cos(z). Usamos a regra do produto, que afirma que, para u(z)=a(z)\,b(z),
u'(z)=a'(z)\,b(z)+a(z)\,b'(z).
No nosso caso a(z)=z e b(z)=\cos(z).
  • Derivada de a(z)=z é a'(z)=1.
  • Derivada de b(z)=\cos(z) é b'(z)=-\sin(z).
Aplicando a regra do produto:
u'(z)=1\cdot\cos(z)+z\cdot(-\sin(z))=\cos(z)-z\sin(z).

Passo 4

Calcular v'(z). Como v(z)=z^{2}+2 e a derivada de z^{2} é 2z (e de constante é zero), temos
v'(z)=2z.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente com os resultados u'(z)=\cos(z)-z\sin(z), u(z)=z\cos(z), v(z)=z^{2}+2 e v'(z)=2z. Assim
f'(z)=\frac{\bigl(\cos(z)-z\sin(z)\bigr)\bigl(z^{2}+2\bigr)-\bigl(z\cos(z)\bigr)\bigl(2z\bigr)}{\bigl(z^{2}+2\bigr)^{2}}.

Passo 6

Agora simplificar o numerador passo a passo.
Expandir o primeiro produto:
\bigl(\cos(z)-z\sin(z)\bigr)\bigl(z^{2}+2\bigr)=\cos(z)\bigl(z^{2}+2\bigr)-z\sin(z)\bigl(z^{2}+2\bigr).
Subtrair o segundo termo do numerador:
\cos(z)\bigl(z^{2}+2\bigr)-z\sin(z)\bigl(z^{2}+2\bigr)-2z^{2}\cos(z).
Agrupar os termos com \cos(z):
\bigl(\cos(z)(z^{2}+2)-2z^{2}\cos(z)\bigr)-z\sin(z)\bigl(z^{2}+2\bigr).
Calcular \cos(z) fatorado:
\cos(z)\bigl(z^{2}+2-2z^{2}\bigr)-z\sin(z)\bigl(z^{2}+2\bigr) =\cos(z)\bigl(2-z^{2}\bigr)-z\sin(z)\bigl(z^{2}+2\bigr).
Portanto uma forma simplificada da derivada é
f'(z)=\frac{\bigl(2-z^{2}\bigr)\cos(z)-z\bigl(z^{2}+2\bigr)\sin(z)}{\bigl(z^{2}+2\bigr)^{2}}.

Resposta

f'(z)=\frac{\bigl(2-z^{2}\bigr)\cos(z)-z\bigl(z^{2}+2\bigr)\sin(z)}{\bigl(z^{2}+2\bigr)^{2}}

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