Explique o significado de se dizer que
.
Passo 1
O enunciado diz que
.
Informações dadas: a sequência de termos (não especificada) e um somatório infinito cujo índice inicial é
e cujo valor declarado é
.
O que se pede: explicar o significado dessa igualdade — ou seja, o que quer dizer, rigorosamente, afirmar que essa soma infinita vale .
Informações dadas: a sequência de termos
O que se pede: explicar o significado dessa igualdade — ou seja, o que quer dizer, rigorosamente, afirmar que essa soma infinita vale
Passo 2
Definição de soma de série por somas parciais.
Para entender a expressão, construímos as somas parciais. Defina, para cada inteiro ,
Para entender a expressão, construímos as somas parciais. Defina, para cada inteiro
Cada
é uma soma finita (uma soma normal, que você já sabe calcular term a term). A série é entendida como o limite desses
quando
cresce sem limite.
Passo 3
Significado preciso da igualdade
.
Dizemos que
Dizemos que
se, e somente se,
ou seja, os números
se aproximam cada vez mais de
quando
aumenta. Essa é a definição padrão de soma de uma série infinita.
Passo 4
Interpretação em palavras e noção de
-proximidade.
A igualdade significa: para qualquer existe um
tal que, para todo
,
A igualdade significa: para qualquer
Em linguagem simples: escolhendo
grande o suficiente, a soma dos primeiros
termos fica tão perto de
quanto eu quiser. Ou ainda: a “cauda” da série depois de um índice grande tem soma muito pequena.
Passo 5
Relação com a soma da cauda (restante) da série.
Seja a cauda a soma dos termos a partir de um índice :
Seja a cauda a soma dos termos a partir de um índice
Pelo item anterior,
e, portanto,
Ou seja, a soma dos termos que faltam para chegar a
tende a zero quando eu já somei muitos termos.
Passo 6
Condição necessária simples:
.
Uma consequência prática importante é que, se a série converge (isto é, se soma ), então os termos individuais têm que tender a zero:
Uma consequência prática importante é que, se a série converge (isto é, se soma
Portanto, ao ver uma afirmação desse tipo na prova, uma checagem rápida é verificar se
tende a zero; se não tender, a afirmação é falsa.
Passo 7
Exemplo concreto que soma
(para fixar a ideia).
Escolha um com
e defina, para
,
Escolha um
Fazendo a soma (mude a variável para
),
Esse exemplo mostra um caso explícito em que a definição por somas parciais é satisfeita.
Passo 8
Observações úteis para a prova (como usar a afirmação).
- Para provar que uma série vale
você pode calcular as somas parciais e tirar o limite. - Se for difícil calcular, use testes de convergência e comparação com séries conhecidas; mas sempre lembre que a conclusão necessária é que
. - Se a série for de termos não-negativos, a soma é bem-comportada (não há reordenação que mude o valor). Se for condicionalmente convergente, reordenações podem alterar a soma — atenção ao enunciado.