Explique o significado de se dizer que \Sigma_{s-1}^{\infty} a_{n}=5.

Passo 1

O enunciado diz que \sum_{n=s-1}^{\infty} a_{n}=5.
Informações dadas: a sequência de termos \{a_n\} (não especificada) e um somatório infinito cujo índice inicial é n=s-1 e cujo valor declarado é 5.
O que se pede: explicar o significado dessa igualdade — ou seja, o que quer dizer, rigorosamente, afirmar que essa soma infinita vale 5.

Passo 2

Definição de soma de série por somas parciais.
Para entender a expressão, construímos as somas parciais. Defina, para cada inteiro N\ge s-1,
S_{N}=\sum_{n=s-1}^{N} a_{n}.
Cada S_{N} é uma soma finita (uma soma normal, que você já sabe calcular term a term). A série é entendida como o limite desses S_{N} quando N cresce sem limite.

Passo 3

Significado preciso da igualdade \sum_{n=s-1}^{\infty} a_{n}=5.
Dizemos que
\sum_{n=s-1}^{\infty} a_{n}=5
se, e somente se,
\lim_{N\to\infty} S_{N}=5,
ou seja, os números S_{N} se aproximam cada vez mais de 5 quando N aumenta. Essa é a definição padrão de soma de uma série infinita.

Passo 4

Interpretação em palavras e noção de \varepsilon-proximidade.
A igualdade significa: para qualquer \varepsilon>0 existe um N_{0} tal que, para todo N\ge N_{0},
|S_{N}-5|<\varepsilon.
Em linguagem simples: escolhendo N grande o suficiente, a soma dos primeiros N-(s-1)+1 termos fica tão perto de 5 quanto eu quiser. Ou ainda: a “cauda” da série depois de um índice grande tem soma muito pequena.

Passo 5

Relação com a soma da cauda (restante) da série.
Seja a cauda a soma dos termos a partir de um índice N+1:
R_{N}=\sum_{n=N+1}^{\infty} a_{n}.
Pelo item anterior, R_{N}=5-S_{N} e, portanto,
\lim_{N\to\infty} R_{N}=0.
Ou seja, a soma dos termos que faltam para chegar a 5 tende a zero quando eu já somei muitos termos.

Passo 6

Condição necessária simples: a_n\to 0.
Uma consequência prática importante é que, se a série converge (isto é, se soma 5), então os termos individuais têm que tender a zero:
a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\quad\Rightarrow\quad \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
Portanto, ao ver uma afirmação desse tipo na prova, uma checagem rápida é verificar se a_n tende a zero; se não tender, a afirmação é falsa.

Passo 7

Exemplo concreto que soma 5 (para fixar a ideia).
Escolha um r com 0<r<1 e defina, para n\ge s-1,
a_{n}=5(1-r)\,r^{\,n-(s-1)}.
Fazendo a soma (mude a variável para k=n-(s-1)),
\sum_{n=s-1}^{\infty} a_{n}=\sum_{k=0}^{\infty}5(1-r)r^{k}=5(1-r)\cdot\frac{1}{1-r}=5.
Esse exemplo mostra um caso explícito em que a definição por somas parciais é satisfeita.

Passo 8

Observações úteis para a prova (como usar a afirmação).
  • Para provar que uma série vale 5 você pode calcular as somas parciais e tirar o limite.
  • Se for difícil calcular, use testes de convergência e comparação com séries conhecidas; mas sempre lembre que a conclusão necessária é que S_{N}\to 5.
  • Se a série for de termos não-negativos, a soma é bem-comportada (não há reordenação que mude o valor). Se for condicionalmente convergente, reordenações podem alterar a soma — atenção ao enunciado.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=s-1}^{\infty} a_{n}=5 significa que, definindo S_{N}=\sum_{n=s-1}^{N} a_{n}, temos \displaystyle \lim_{N\to\infty} S_{N}=5.

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