Explique a diferença entre
\sum_{i=1}^{n} a_{j} \text { e } \sum_{i=1}^{j} a_{j}

Passo 1

O enunciado pede para explicar a diferença entre as duas expressões
\sum_{i=1}^{n} a_{j}\quad\text{e}\quad \sum_{i=1}^{j} a_{j}.
Informações dadas:
\sum_{i=1}^{n} a_{j}
tem o índice de soma escrito como i (vai de 1 a n) mas o termo somado é a_{j} (usa j), e
\sum_{i=1}^{j} a_{j}
tem o índice de soma i (vai de 1 a j) mas novamente o termo somado é a_{j}. Observação: as expressões estão escritas de forma ambígua porque o índice da soma ( i) não aparece no termo somado ( a_{j}); isso abre duas interpretações possíveis: (A) interpretar literalmente como estão escritas (onde a_{j} não depende de i), ou (B) interpretar a intenção provável do autor, que era usar o mesmo índice na soma e no termo (por exemplo \sum_{i=1}^{n} a_{i} e \sum_{i=1}^{j} a_{i}). Neste exercício vamos tratar explicitamente as duas interpretações para ficar claro.

Passo 2

Rápida aula sobre notação de soma (bem devagar): uma soma do tipo
\sum_{k=m}^{M} b_{k}
significa "somar os termos b_{m},b_{m+1},\dots,b_{M}". O símbolo k é o índice de soma (ou variável ligada): ele percorre os valores de m até M. Importante: o índice de soma é um “nome temporário” (dummy) — podemos trocar k por qualquer outra letra sem mudar o significado, desde que a letra usada no termo b_{k} seja a mesma do índice. Exemplo simples:
\sum_{r=1}^{4} r = 1+2+3+4 = 10.

Passo 3

Interpretação literal da primeira expressão. Tome
\sum_{i=1}^{n} a_{j},
como escrita: o índice que varia é i, mas o termo somado é a_{j}, que não depende de i. Isso significa que cada uma das n parcelas da soma vale exatamente a_{j}. Portanto a soma literal é a_{j} somado n vezes. Escrevendo isso:
\sum_{i=1}^{n} a_{j}= \underbrace{a_{j}+a_{j}+\cdots+a_{j}}_{n\text{ termos}} = n\cdot a_{j}.
Aqui j é tratado como um parâmetro fixo (não variando com i).

Passo 4

Interpretação literal da segunda expressão. Tome
\sum_{i=1}^{j} a_{j}.
O índice que varia é i (vai de 1 até j), mas o termo somado é a_{j}, que novamente não depende de i. Logo temos j parcelas, cada uma igual a a_{j}. Assim, literalmente,
\sum_{i=1}^{j} a_{j}= \underbrace{a_{j}+a_{j}+\cdots+a_{j}}_{j\text{ termos}} = j\cdot a_{j}.
Observação: aqui é necessário que j seja um inteiro positivo (ou pelo menos faça sentido como número de termos); se j for uma variável não inteira, a expressão precisa de interpretação adicional.

Passo 5

Interpretação provável/intencionada (como se costuma escrever em matemática): normalmente queremos somar os termos de uma sequência com o mesmo índice que varia. As formas usuais seriam
\sum_{i=1}^{n} a_{i}\quad\text{e}\quad \sum_{i=1}^{j} a_{i}.
Nessas formas:
  • \sum_{i=1}^{n} a_{i} é a soma dos primeiros n termos da sequência (a_{1},a_{2},\dots); isto é a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}.
  • \sum_{i=1}^{j} a_{i} é a soma dos primeiros j termos (um somatório parcial), isto é a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{j}.
    Diferença prática: a primeira soma tem limite superior fixo n; a segunda depende da variável j (é uma soma parcial que varia conforme j). Relação: se j\le n, então \sum_{i=1}^{j} a_{i} é um subsequente parcial de \sum_{i=1}^{n} a_{i}.

Passo 6

Exemplos numéricos para fixar (mostrando os dois significados).
Escolha a sequência a_{k}=k.
Interpretação literal:
\sum_{i=1}^{4} a_{j}\quad\text{com}\quad j=2
é 4\cdot a_{2}=4\cdot 2=8.
\sum_{i=1}^{j} a_{j}\quad\text{com}\quad j=3
é 3\cdot a_{3}=3\cdot 3=9.
Interpretação intencional (índice coincide):
\sum_{i=1}^{4} a_{i}=1+2+3+4=10,
\sum_{i=1}^{j} a_{i}=1+2+\cdots+j=\frac{j(j+1)}{2}\quad\text{(fórmula conhecida para soma dos primeiros \(j\) inteiros).}ó

Passo 7

Conselhos práticos para provas e escrita: sempre faça o índice da soma aparecer no termo somado (ou deixe claro que o termo é independente do índice). Evite escrever \sum_{i=1}^{n} a_{j} — ou troque por \sum_{i=1}^{n} a_{i} (se a intenção for somar termos distintos) ou escreva n a_{j} (se a intenção for somar n cópias de a_{j}). Lembre-se: índices de soma são “variáveis ligadas” e não devem ser confundidos com parâmetros livres.

Resposta

Interpretando literalmente: \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{j}=n\cdot a_{j} e \displaystyle \sum_{i=1}^{j} a_{j}=j\cdot a_{j}.
Interpretando a intenção usual (índice igual ao do termo): \displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+\cdots+a_{n} e \displaystyle \sum_{i=1}^{j} a_{i}=a_{1}+\cdots+a_{j} (soma parcial até j).

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