Determine se a série é convergente ou divergente: Se for convergente, ache sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, devemos calcular a sua soma. Informação dada: a série é a soma, para
variando de
a
, dos termos
e
, somados termo a termo.
Passo 2
Observação importante: uma soma de séries pode ser separada em soma das séries, desde que cada série componente convirja. Então escrevemos
Vamos estudar cada uma das duas séries à direita separadamente. Se ambas convergirem, a série original converge e sua soma é a soma das duas somas.
Passo 3
Aqui entra a ferramenta que precisamos: a série geométrica. A série geométrica com razão
(onde
) e termos começando em
é
Para entendê-la, calculamos a soma parcial até
:
Usamos a fórmula da soma finita de uma progressão geométrica:
Se
, então
quando
. Assim a soma infinita existe e vale
Explicando as variáveis:
é a razão (o número que você multiplica num termo para obter o próximo);
é a soma dos primeiros
termos; o resultado final é
quando
.
Passo 4
A primeira série que temos é
Fazemos a troca de índice
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Aqui a razão é
e
, então podemos usar a fórmula da geométrica:
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
A segunda série é
De novo trocamos o índice
:
Aqui a razão é
e
. Aplicando a fórmula:
Multiplicando por
obtemos
Passo 6
Agora somamos as duas somas parciais que encontramos:
Como cada série componente convergiu (séries geométricas com razão de módulo menor que
), a série original converge e sua soma é
. Você pode pensar que isso faz sentido numericamente: os termos decaem rapidamente (porque envolvem
e
), então a soma total é finita.