Determine se a série é convergente ou divergente: Se for convergente, ache sua soma.
[1,5] \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5^{n-1}}+\frac{3}{3^{n-1}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5^{n-1}}+\frac{3}{3^{n-1}}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, devemos calcular a sua soma. Informação dada: a série é a soma, para n variando de 1 a \infty, dos termos \frac{2}{5^{n-1}} e \frac{3}{3^{n-1}}, somados termo a termo.

Passo 2

Observação importante: uma soma de séries pode ser separada em soma das séries, desde que cada série componente convirja. Então escrevemos
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{5^{n-1}}+\frac{3}{3^{n-1}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{n-1}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{3^{n-1}}.
Vamos estudar cada uma das duas séries à direita separadamente. Se ambas convergirem, a série original converge e sua soma é a soma das duas somas.

Passo 3

Aqui entra a ferramenta que precisamos: a série geométrica. A série geométrica com razão r (onde |r|<1) e termos começando em k=0 é
\sum_{k=0}^{\infty} r^k.
Para entendê-la, calculamos a soma parcial até N:
S_N=\sum_{k=0}^{N} r^k = 1 + r + r^2 + \cdots + r^N.
Usamos a fórmula da soma finita de uma progressão geométrica:
S_N=\frac{1-r^{\,N+1}}{1-r}\quad\text{(para }r\neq 1\text{)}.
Se |r|<1, então r^{\,N+1}\to 0 quando N\to\infty. Assim a soma infinita existe e vale
\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \lim_{N\to\infty}S_N=\frac{1}{1-r}.
Explicando as variáveis: r é a razão (o número que você multiplica num termo para obter o próximo); S_N é a soma dos primeiros N+1 termos; o resultado final é \dfrac{1}{1-r} quando |r|<1.

Passo 4

A primeira série que temos é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{n-1}}.
Fazemos a troca de índice k=n-1. Quando n=1 temos k=0; quando n\to\infty temos k\to\infty. Assim
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{n-1}} = 2\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^k.
Aqui a razão é r=\dfrac{1}{5} e |r|=\dfrac{1}{5}<1, então podemos usar a fórmula da geométrica:
\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^k=\frac{1}{1-\tfrac{1}{5}}=\frac{1}{\tfrac{4}{5}}=\frac{5}{4}.
Multiplicando por 2 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{n-1}}=2\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{2}.

Passo 5

A segunda série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{3^{n-1}}.
De novo trocamos o índice k=n-1:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{3^{n-1}}=3\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^k.
Aqui a razão é r=\dfrac{1}{3} e |r|=\dfrac{1}{3}<1. Aplicando a fórmula:
\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^k=\frac{1}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{1}{\tfrac{2}{3}}=\frac{3}{2}.
Multiplicando por 3 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{3^{n-1}}=3\cdot\frac{3}{2}=\frac{9}{2}.

Passo 6

Agora somamos as duas somas parciais que encontramos:
\frac{5}{2}+\frac{9}{2}=\frac{14}{2}=7.
Como cada série componente convergiu (séries geométricas com razão de módulo menor que 1), a série original converge e sua soma é 7. Você pode pensar que isso faz sentido numericamente: os termos decaem rapidamente (porque envolvem 5^{n-1} e 3^{n-1}), então a soma total é finita.

Resposta

7

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