Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-3 \cos (n)}{n^{3}} é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-3 \cos(n)}{n^{3}} é convergente.
Informações dadas e observações imediatas:
A série é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-3 \cos(n)}{n^{3}}.
O fator -3 é constante e pode ser tirado da soma.
Sabemos que \cos(n) é uma função trigonométrica com valores limitados: para todo n vale |\cos(n)|\le 1.
A pergunta única é: a série converge ou diverge?
Passo 2
Tirar o fator constante fora da soma para simplificar a escrita. Usamos a propriedade linear da soma:
Isso mostra que basta estudar a convergência de \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n^{3}}.
Passo 3
Explicar o conceito de convergência absoluta, que é uma ferramenta forte e simples:
Uma série \sum a_n converge absolutamente se a série \sum |a_n| converge. Além disso, se \sum a_n converge absolutamente então \sum a_n converge (ou seja, convergência absoluta implica convergência).
Aqui queremos verificar a série dos valores absolutos:
Se mostrarmos que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n^{3}} converge, pelo teste da comparação teremos que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3\,|\cos(n)|}{n^{3}} também converge.
Passo 5
Explicar o teste da série p (p-series): a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Uma justificativa rápida (teste da integral): para p\neq 1,
Concluir pela comparação: como 0 \le \frac{3\,|\cos(n)|}{n^{3}} \le \frac{3}{n^{3}} e \sum \frac{3}{n^{3}} converge, a série \sum \frac{3\,|\cos(n)|}{n^{3}} converge. Logo a série original converge absolutamente. Pelo fato de convergência absoluta implicar convergência, obtemos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{-3 \cos(n)}{n^{3}}
converge.
Resposta
A série converge absolutamente, portanto é convergente.