Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-3 \cos (n)}{n^{3}} é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-3 \cos(n)}{n^{3}} é convergente.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A série é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-3 \cos(n)}{n^{3}}.
  • O fator -3 é constante e pode ser tirado da soma.
  • Sabemos que \cos(n) é uma função trigonométrica com valores limitados: para todo n vale |\cos(n)|\le 1.
    A pergunta única é: a série converge ou diverge?

Passo 2

Tirar o fator constante fora da soma para simplificar a escrita. Usamos a propriedade linear da soma:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{-3 \cos(n)}{n^{3}} = -3 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n^{3}}.
Isso mostra que basta estudar a convergência de \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n^{3}}.

Passo 3

Explicar o conceito de convergência absoluta, que é uma ferramenta forte e simples:
Uma série \sum a_n converge absolutamente se a série \sum |a_n| converge. Além disso, se \sum a_n converge absolutamente então \sum a_n converge (ou seja, convergência absoluta implica convergência).
Aqui queremos verificar a série dos valores absolutos:
\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{-3\cos(n)}{n^{3}} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3\,|\cos(n)|}{n^{3}}.

Passo 4

Aplicar uma comparação simples usando |\cos(n)|\le 1. Então, para todo n,
\frac{3\,|\cos(n)|}{n^{3}} \le \frac{3}{n^{3}}.
Portanto a série dos valores absolutos satisfaz
0 \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3\,|\cos(n)|}{n^{3}} \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n^{3}}.
Se mostrarmos que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n^{3}} converge, pelo teste da comparação teremos que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3\,|\cos(n)|}{n^{3}} também converge.

Passo 5

Explicar o teste da série p (p-series): a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Uma justificativa rápida (teste da integral): para p\neq 1,
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{\infty}
converge (é finita) exatamente quando p>1. Assim \sum 1/n^{p} converge para p>1.
No nosso caso p=3>1, então
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}
converge. Multiplicando por 3 também converge:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n^{3}} = 3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} \quad\text{converge.}

Passo 6

Concluir pela comparação: como 0 \le \frac{3\,|\cos(n)|}{n^{3}} \le \frac{3}{n^{3}} e \sum \frac{3}{n^{3}} converge, a série \sum \frac{3\,|\cos(n)|}{n^{3}} converge. Logo a série original converge absolutamente. Pelo fato de convergência absoluta implicar convergência, obtemos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{-3 \cos(n)}{n^{3}}
converge.

Resposta

A série converge absolutamente, portanto é convergente.

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