Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2 n}+\frac{1}{2^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigl(\frac{1}{2n} + \frac{1}{2^n}\Bigr)
e decidir se ela converge ou diverge. Se convergir, devemos ainda encontrar a soma. Vamos usar a propriedade de linearidade das séries e o conhecimento das séries harmônica e geométrica.

Passo 2

Separemos a soma em duas:
\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigl(\frac{1}{2n} + \frac{1}{2^n}\Bigr) = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2n} \;+\; \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n}.

Passo 3

Analisando a primeira parte,
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2n} =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}.
Como sabemos, a série harmônica \sum_{n=1}^{+\infty}\tfrac1n diverge. Logo
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2n}
também diverge (basta multiplicar por \tfrac12 para manter a divergência).

Passo 4

A segunda parte é uma série geométrica de razão r=\tfrac12:
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2^n} = \frac{\tfrac12}{1-\tfrac12} =1.
Ou seja, essa parte converge e soma exatamente 1.

Passo 5

Como a soma total é a soma de uma parte divergente com uma parte convergente, o termo divergente domina, e portanto
\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigl(\frac{1}{2n} + \frac{1}{2^n}\Bigr)
diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados