Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente ache a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série
e decidir se ela converge ou diverge. Se convergir, devemos ainda encontrar a soma. Vamos usar a propriedade de linearidade das séries e o conhecimento das séries harmônica e geométrica.
Passo 2
Separemos a soma em duas:
Passo 3
Analisando a primeira parte,
Como sabemos, a série harmônica
diverge. Logo
também diverge (basta multiplicar por
para manter a divergência).
Passo 4
A segunda parte é uma série geométrica de razão
:
Ou seja, essa parte converge e soma exatamente
.
Passo 5
Como a soma total é a soma de uma parte divergente com uma parte convergente, o termo divergente domina, e portanto
diverge.
Resposta
A série diverge.