Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{7}{5}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{7}{5}\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{n}
que é uma série geométrica. Para resolver, vamos usar o critério de convergência de séries geométricas (converge se \lvert r\rvert<1) e a fórmula da soma.

Passo 2

Escrevemos a série na forma padrão \sum_{n=1}^{+\infty}a_1\,r^{\,n-1}. Observe que
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{7}{5}\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{n} =\frac{7}{5}\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigl(\frac{3}{4}\Bigr)^{\,n-1}.
Dessa forma, o primeiro termo é
a_1 = \frac{7}{5}\cdot\frac{3}{4}
e a razão é
r = \frac{3}{4}.

Passo 3

Como \lvert r\rvert=\tfrac{3}{4}<1, a série converge. A soma de uma série geométrica com \lvert r\rvert<1 é dada por
S = \frac{a_1}{1-r}.

Passo 4

Substituindo a_1 e r na fórmula, temos
S = \frac{\tfrac{7}{5}\cdot\tfrac{3}{4}}{1-\tfrac{3}{4}} = \frac{\tfrac{21}{20}}{\tfrac{1}{4}} = \frac{21}{20}\,\times 4 = \frac{21}{5}.

Resposta

A série converge e sua soma é \tfrac{21}{5}.

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