Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{3}{2^{n}}-\frac{2}{3^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3}{2^{n}}-\frac{2}{3^{n}}\Bigr)
e, caso ela seja convergente, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é série geométrica e usaremos a fórmula
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r},\quad\text{para }|r|<1,
além da linearidade da soma de séries.

Passo 2

Aplicando a linearidade, escrevemos
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3}{2^{n}}-\frac{2}{3^{n}}\Bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2^{n}} \;-\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^{n}}.

Passo 3

Para a primeira série, note que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2^{n}} =3\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^{n} =3\cdot\frac{\tfrac12}{1-\tfrac12} =3\cdot1 =3.

Passo 4

Para a segunda série, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^{n}} =2\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{n} =2\cdot\frac{\tfrac13}{1-\tfrac13} =2\cdot\frac{\tfrac13}{\tfrac23} =2\cdot\tfrac12 =1.

Passo 5

Como ambas as séries geométricas convergem (pois |\tfrac12|<1 e |\tfrac13|<1), a série original é convergente. Sua soma é
3 - 1 = 2.

Resposta

A série é convergente e sua soma é 2.

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