Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{3}{2 n}-\frac{2}{3 n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigl(\frac{3}{2n}-\frac{2}{3n}\Bigr)
e, se convergente, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é o de séries numéricas, em particular a identificação de séries do tipo 1/n (p-série com p=1).

Passo 2

Vamos juntar as frações do termo geral em um único quociente em função de n:
\frac{3}{2n}-\frac{2}{3n} =\frac{3\cdot3-2\cdot2}{6n} =\frac{9-4}{6n} =\frac{5}{6n}.

Passo 3

Com isso a série fica
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{5}{6n} =\frac{5}{6}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}.
Mas \sum_{n=1}^{+\infty}1/n é a série harmônica, que diverge (p-série com p=1 não converge).

Passo 4

Logo a série original diverge, pois equivale a uma constante vezes a série harmônica.

Resposta

A série diverge.

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