Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
4.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{3 n}
4.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{3 n}
Passo 1
O enunciado dá a série
As perguntas são:
- Determinar se a série é convergente ou divergente.
- Se for convergente, achar a sua soma.
Informações relevantes do enunciado:
- Cada termo geral é
para . - Todos os termos são positivos.
- A série parece ter a forma de uma constante multiplicando uma série com termos
.
Passo 2
Fatorar a constante que multiplica a série (regra linearidade da soma).
Para qualquer número real constante e sequência
vale
Para qualquer número real constante
sempre que uma das duas quantidades façam sentido (no caso de divergência por infinito a igualdade vale no sentido dos limites dos somatórios parciais). Aplicando isso à nossa série obtemos
Portanto basta estudar a série
.
Passo 3
Identificar a série
: trata-se da chamada série harmônica. Preciso saber se ela converge. Vou provar que ela diverge usando um argumento elementar por agrupamento de termos (muito usado em provas e fácil de lembrar na prova).
Passo 4
Prova da divergência da série harmônica por agrupamento:
Considere a soma parcial até ,
Considere a soma parcial até
Escreve-se
agrupando termos desta forma:
Observe cada grupo (exceto o primeiro termo
) tem a propriedade: o
-ésimo grupo (para
) contém
termos, cada um maior ou igual a
. Assim a soma de cada grupo é pelo menos
Logo, para todo
,
Como
a quantidade
, segue que
. Portanto as somas parciais da série harmônica
são não-bounded e a série diverge (tende a
).
Passo 5
Concluir para a série original: já que
temos multiplicando por
Ou seja, a série não converge a um número finito — diverge (tende a
). Observação prática para a prova: ao ver uma série da forma constante vezes
, lembre que
gera a série harmônica que é divergente.
Resposta
A série diverge (tende a
).