Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
4.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{3 n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{3n}
As perguntas são:
  • Determinar se a série é convergente ou divergente.
  • Se for convergente, achar a sua soma.
Informações relevantes do enunciado:
  • Cada termo geral é \dfrac{2}{3n} para n=1,2,3,\dots.
  • Todos os termos são positivos.
  • A série parece ter a forma de uma constante multiplicando uma série com termos \dfrac{1}{n}.

Passo 2

Fatorar a constante que multiplica a série (regra linearidade da soma).
Para qualquer número real constante c e sequência (a_n) vale
\sum_{n=1}^{\infty} c\,a_n = c\sum_{n=1}^{\infty} a_n,
sempre que uma das duas quantidades façam sentido (no caso de divergência por infinito a igualdade vale no sentido dos limites dos somatórios parciais). Aplicando isso à nossa série obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3n}=\frac{2}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Portanto basta estudar a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}.

Passo 3

Identificar a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}: trata-se da chamada série harmônica. Preciso saber se ela converge. Vou provar que ela diverge usando um argumento elementar por agrupamento de termos (muito usado em provas e fácil de lembrar na prova).

Passo 4

Prova da divergência da série harmônica por agrupamento:
Considere a soma parcial até 2^{m},
S_{2^{m}}=\sum_{n=1}^{2^{m}}\frac{1}{n}.
Escreve-se S_{2^{m}} agrupando termos desta forma:
S_{2^{m}}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{m-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^{m}}\right).
Observe cada grupo (exceto o primeiro termo 1) tem a propriedade: o j-ésimo grupo (para j\ge1) contém 2^{\,j-1} termos, cada um maior ou igual a \dfrac{1}{2^{j}}. Assim a soma de cada grupo é pelo menos
2^{\,j-1}\cdot\frac{1}{2^{j}}=\frac{1}{2}.
Logo, para todo m\ge1,
S_{2^{m}}\ge 1+\sum_{j=1}^{m}\frac{1}{2}=1+\frac{m}{2}.
Como m\to\infty a quantidade 1+\dfrac{m}{2}\to\infty, segue que S_{2^{m}}\to\infty. Portanto as somas parciais da série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} são não-bounded e a série diverge (tende a +\infty).

Passo 5

Concluir para a série original: já que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty,
temos multiplicando por \dfrac{2}{3}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3n}=\frac{2}{3}\cdot\infty=\infty.
Ou seja, a série não converge a um número finito — diverge (tende a +\infty). Observação prática para a prova: ao ver uma série da forma constante vezes 1/n, lembre que 1/n gera a série harmônica que é divergente.

Resposta

A série diverge (tende a +\infty).

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