Isto é uma série geométrica, porque tem a forma \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1} ou \sum_{n=1}^{\infty}r^{n} multiplicada por uma constante. Aqui os parâmetros são:
razão r=\dfrac{1}{3},
primeiro termo (quando escrita na forma a r^{n-1}) é a=\dfrac{2}{3} (visto que o termo para n=1 é 2/3).
Passo 3
Lembrete (fórmula e significado das variáveis): para uma série geométrica com razão |r|<1 e primeiro termo a, os somatórios parciais S_{N} e a soma infinita são dados por
S_{N}=a\frac{1-r^{N}}{1-r},
onde S_{N}=\sum_{n=1}^{N}a r^{\,n-1}. A série converge se e somente se |r|<1; nesse caso a soma é
\sum_{n=1}^{\infty}a r^{\,n-1}=\frac{a}{1-r}.
Explicando por que: o fator r^{N} tende a 0 quando |r|<1, logo S_{N}\to a/(1-r).
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso. Podemos usar a forma \sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\dfrac{r}{1-r} válida para |r|<1. Aqui r=\dfrac{1}{3}, então
Conclusão clara e rápida: a razão \left|r\right|=\left|\tfrac{1}{3}\right|<1, portanto a série é convergente. O cálculo acima mostra que a soma da série é \,1.