Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
6.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^{n}}
é convergente ou divergente e, caso seja convergente, encontrar a sua soma. Informações dadas:
  • Os termos gerais são \dfrac{2}{3^{n}} para n=1,2,3,\dots.
  • A tarefa é (1) verificar convergência e (2) calcular a soma, se existir.

Passo 2

Vamos identificar o tipo de série. Reescrevendo:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^{n}}=2\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.
Isto é uma série geométrica, porque tem a forma \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1} ou \sum_{n=1}^{\infty}r^{n} multiplicada por uma constante. Aqui os parâmetros são:
  • razão r=\dfrac{1}{3},
  • primeiro termo (quando escrita na forma a r^{n-1}) é a=\dfrac{2}{3} (visto que o termo para n=1 é 2/3).

Passo 3

Lembrete (fórmula e significado das variáveis): para uma série geométrica com razão |r|<1 e primeiro termo a, os somatórios parciais S_{N} e a soma infinita são dados por
S_{N}=a\frac{1-r^{N}}{1-r},
onde S_{N}=\sum_{n=1}^{N}a r^{\,n-1}. A série converge se e somente se |r|<1; nesse caso a soma é
\sum_{n=1}^{\infty}a r^{\,n-1}=\frac{a}{1-r}.
Explicando por que: o fator r^{N} tende a 0 quando |r|<1, logo S_{N}\to a/(1-r).

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso. Podemos usar a forma \sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\dfrac{r}{1-r} válida para |r|<1. Aqui r=\dfrac{1}{3}, então
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}.

Passo 5

Calcule a fração:
\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{2}.
Como a série original tem um fator 2 multiplicando essa soma,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^{n}}=2\cdot\frac{1}{2}=1.
Também é legítimo usar a forma com a=\tfrac{2}{3} e r=\tfrac{1}{3}:
\frac{a}{1-r}=\frac{\tfrac{2}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{2}{3}}=1.

Passo 6

Conclusão clara e rápida: a razão \left|r\right|=\left|\tfrac{1}{3}\right|<1, portanto a série é convergente. O cálculo acima mostra que a soma da série é \,1.

Resposta

Convergente
Soma: 1

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