Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
\sum_{n=3}^{+\infty} \frac{1}{n-1}
\sum_{n=3}^{+\infty} \frac{1}{n-1}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, também pede para encontrar a sua soma.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A soma é indexada por
começando em . - O termo geral da série é
.
Passo 2
Primeiro simplifico o índice para ver a série numa forma mais conhecida. Faço a mudança de variável
. Então quando
temos
e quando
temos
. Assim a série fica
Escrevendo explicitamente: os termos são
.
Passo 3
Agora reconheço que
é a série harmônica sem o primeiro termo
. Ou seja,
É um fato padrão (que vou justificar abaixo passo a passo) que a série harmônica
diverge (os seus somatórios parciais tendem a
). Como subtrair um número finito (
) de uma soma divergente não a torna convergente, segue que
também diverge. Mas vamos justificar por um método elementar por que a série harmônica diverge.
Passo 4
Prova elementar (agrupamento) da divergência da série harmônica. Considere as somas parciais agrupadas assim:
Em cada grupo a quantidade de termos dobra, e cada termo do grupo é pelo menos igual ao último termo do grupo. Mais precisamente:
-
. -
. - Em geral, o grupo com
termos tem soma .
Portanto as somas parciais crescem pelo menos como
uma soma que tende a
. Logo
diverge.
Passo 5
Outra explicação (teste da integral), por completude e porque é útil saber na prova: considere
, função positiva e decrescente para
. Pelo teste da integral,
Mas
logo a série diverge. Consequentemente
também diverge (tirar o primeiro termo não altera a convergência).
Passo 6
Conclusão prática para a série original: como
e esta diverge, a série dada diverge. Portanto não existe soma finita para ela.
Resposta
A série diverge (não é convergente; não tem soma finita).