Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
\sum_{n=3}^{+\infty} \frac{1}{n-1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n-1}
é convergente ou divergente. Se for convergente, também pede para encontrar a sua soma.
Informações dadas:
  • A soma é indexada por n começando em n=3.
  • O termo geral da série é \dfrac{1}{n-1}.

Passo 2

Primeiro simplifico o índice para ver a série numa forma mais conhecida. Faço a mudança de variável k=n-1. Então quando n=3 temos k=2 e quando n\to\infty temos k\to\infty. Assim a série fica
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n-1} = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k}.
Escrevendo explicitamente: os termos são \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\dots.

Passo 3

Agora reconheço que \sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{1}{k} é a série harmônica sem o primeiro termo \dfrac{1}{1}. Ou seja,
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} - 1.
É um fato padrão (que vou justificar abaixo passo a passo) que a série harmônica
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}
diverge (os seus somatórios parciais tendem a +\infty). Como subtrair um número finito ( 1) de uma soma divergente não a torna convergente, segue que \sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{1}{k} também diverge. Mas vamos justificar por um método elementar por que a série harmônica diverge.

Passo 4

Prova elementar (agrupamento) da divergência da série harmônica. Considere as somas parciais agrupadas assim:
1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right) + \cdots
Em cada grupo a quantidade de termos dobra, e cada termo do grupo é pelo menos igual ao último termo do grupo. Mais precisamente:
  • \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4} \ge 2\cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}.
  • \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8} \ge 4\cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2}.
  • Em geral, o grupo com 2^{m} termos tem soma \ge \dfrac{1}{2}.
Portanto as somas parciais crescem pelo menos como
1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots,
uma soma que tende a +\infty. Logo \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k} diverge.

Passo 5

Outra explicação (teste da integral), por completude e porque é útil saber na prova: considere f(x)=\dfrac{1}{x}, função positiva e decrescente para x\ge1. Pelo teste da integral,
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\\ \text{diverge se e somente se}\\ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,dx \\ \text{diverge}.
Mas
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,dx = \lim_{t\to\infty} \ln t = +\infty,
logo a série diverge. Consequentemente \sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{1}{k} também diverge (tirar o primeiro termo não altera a convergência).

Passo 6

Conclusão prática para a série original: como \sum_{n=3}^{\infty}\dfrac{1}{n-1}=\sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{1}{k} e esta diverge, a série dada diverge. Portanto não existe soma finita para ela.

Resposta

A série diverge (não é convergente; não tem soma finita).

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