Exercício 07: Determine quais das frases abaixo são proposições e quais não são, justificando formalmente com base na Definição 2 dos slides:
\exists a \in \mathbb{R} ; a^{2}>36 e 0<a<7.

Passo 1

O enunciado apresenta duas frases que devo classificar:
  • Frase P_1:\\ \exists a \in \mathbb{R};\\ a^{2}>36.
  • Frase P_2:\\\ 0<a<7.
A tarefa é indicar, para cada uma, se é proposição ou não, justificando com base na Definição 2 dos slides (isto é: explicar se a sentença tem valor de verdade bem definido — verdadeira ou falsa — ou se depende de valores livres).

Passo 2

Vou lembrar de forma simples e direta a ideia usada na Definição 2 (a versão usada nos slides, em linguagem acessível):
  • Uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido: ou é verdadeira ou é falsa (não pode ser “depende de algo” enquanto estiver escrita).
  • Uma expressão que contém variáveis livres (não ligadas por quantificadores) e cuja verdade depende do valor dessas variáveis é chamada de sentença aberta (ou predicado) e, sozinha, não é proposição.
  • Quando todas as variáveis de uma expressão estão ligadas por quantificadores (por exemplo \forall ou \exists), a expressão resultante não tem variáveis livres e, portanto, tem um valor de verdade — é uma proposição (podendo ser verdadeira ou falsa).

Passo 3

Análise da frase P_2:\\\ 0<a<7.
  • Observe que a variável a aparece ali sem nenhum quantificador que a ligue; a é uma variável livre.
  • Como consequência, a verdade de 0<a<7 depende do valor específico de a. Exemplos:
    • Se a=3 então 0<3<7 é verdadeiro.
    • Se a=-1 então 0<{-1}<7 é falso.
  • Encontramos duas atribuições para a que dão valores de verdade diferentes; isso mostra que, como escrita, 0<a<7 não tem um único valor de verdade fixo.
  • Pelo que disse a Definição 2, isso significa que 0<a<7 não é uma proposição: é uma sentença aberta (um predicado com variável livre).

Passo 4

Análise da frase P_1:\\ \exists a \in \mathbb{R};\\ a^{2}>36.
  • Aqui já há um quantificador existencial \exists a\in\mathbb{R} que liga a variável a. Não há variáveis livres sobrando: a expressão inteira diz “existe um real a tal que a^{2}>36”.
  • Sendo assim a expressão inteira é candidata a ser proposição (tem ou deve ter um valor de verdade definido).
  • Para decidir se é verdadeira ou falsa, precisamos verificar se existe um real a satisfazendo a^{2}>36. Basta fornecer um witness (um exemplo) que satisfaça a propriedade para provar que a sentença é verdadeira.
  • Tomemos a=7. Então a^{2}=7^{2}=49 e 49>36 é verdadeiro. Assim existe pelo menos um real a (por exemplo 7) com a^{2}>36.
  • Logo \exists a\in\mathbb{R}\,(a^{2}>36) é verdadeira.
  • Conclusão: P_1 é uma proposição, e seu valor de verdade é verdadeiro.

Passo 5

Recapitulando de forma didática para decorar na prova:
  • Frases com variáveis livres (como 0<a<7) não são proposições; para virar proposição precisa-se ligar a variável com um quantificador ( \forall ou \exists) ou dar um valor concreto à variável.
  • Frases com quantificadores que eliminam variáveis livres são proposições; para avaliá‑las procura-se um contraexemplo (para negar uma \forall) ou um witness (para afirmar uma \exists).

Resposta

A frase \exists a \in \mathbb{R};\\ a^{2}>36 é uma proposição — verdadeira.
A frase 0<a<7 não é uma proposição — é uma sentença aberta (a variável a é livre).

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