Exercício 07: Determine quais das frases abaixo são proposições e quais não são, justificando formalmente com base na Definição 2 dos slides:
e
.
Passo 1
O enunciado apresenta duas frases que devo classificar:
- Frase
. - Frase
.
A tarefa é indicar, para cada uma, se é proposição ou não, justificando com base na Definição 2 dos slides (isto é: explicar se a sentença tem valor de verdade bem definido — verdadeira ou falsa — ou se depende de valores livres).
Passo 2
Vou lembrar de forma simples e direta a ideia usada na Definição 2 (a versão usada nos slides, em linguagem acessível):
- Uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido: ou é verdadeira ou é falsa (não pode ser “depende de algo” enquanto estiver escrita).
- Uma expressão que contém variáveis livres (não ligadas por quantificadores) e cuja verdade depende do valor dessas variáveis é chamada de sentença aberta (ou predicado) e, sozinha, não é proposição.
- Quando todas as variáveis de uma expressão estão ligadas por quantificadores (por exemplo
ou ), a expressão resultante não tem variáveis livres e, portanto, tem um valor de verdade — é uma proposição (podendo ser verdadeira ou falsa).
Passo 3
Análise da frase
.
- Observe que a variável
aparece ali sem nenhum quantificador que a ligue; é uma variável livre. - Como consequência, a verdade de
depende do valor específico de . Exemplos: - Se
então é verdadeiro. - Se
então é falso.
- Se
- Encontramos duas atribuições para
que dão valores de verdade diferentes; isso mostra que, como escrita, não tem um único valor de verdade fixo. - Pelo que disse a Definição 2, isso significa que
não é uma proposição: é uma sentença aberta (um predicado com variável livre).
Passo 4
Análise da frase
.
- Aqui já há um quantificador existencial
que liga a variável . Não há variáveis livres sobrando: a expressão inteira diz “existe um real tal que ”. - Sendo assim a expressão inteira é candidata a ser proposição (tem ou deve ter um valor de verdade definido).
- Para decidir se é verdadeira ou falsa, precisamos verificar se existe um real
satisfazendo . Basta fornecer um witness (um exemplo) que satisfaça a propriedade para provar que a sentença é verdadeira. - Tomemos
. Então e é verdadeiro. Assim existe pelo menos um real (por exemplo ) com . - Logo
é verdadeira. - Conclusão:
é uma proposição, e seu valor de verdade é verdadeiro.
Passo 5
Recapitulando de forma didática para decorar na prova:
- Frases com variáveis livres (como
) não são proposições; para virar proposição precisa-se ligar a variável com um quantificador ( ou ) ou dar um valor concreto à variável. - Frases com quantificadores que eliminam variáveis livres são proposições; para avaliá‑las procura-se um contraexemplo (para negar uma
) ou um witness (para afirmar uma ).
Resposta
A frase
é uma proposição — verdadeira.
A frase não é uma proposição — é uma sentença aberta (a variável
é livre).
A frase