é convergente ou divergente. Se for convergente, pede também encontrar a sua soma.
Informações dadas explicitamente:
O termo geral é \dfrac{4}{3}\left(\dfrac{5}{7}\right)^{n}.
A constante multiplicativa é \dfrac{4}{3}.
A potência tem base \dfrac{5}{7} elevada a n, com n variando de 1 a +\infty.
Passo 2
Reconhecer o tipo de série (aula rápida e prática).
Uma série da forma \sum_{n=1}^{\infty} c\,r^{n}, com c constante e r fixe, é uma série geométrica (ou um múltiplo de uma série geométrica). Podemos escrever a série dada como
ou seja, é \dfrac{4}{3} vezes a série geométrica com razão r=\dfrac{5}{7}. É útil fatorar constantes assim porque a convergência e a soma dependem só da parte geométrica.
Passo 3
Critério de convergência e fórmula da soma para séries geométricas (mini-aula).
Para uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} vale a propriedade:
Se |r|<1, a série converge e\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Se |r|\ge 1, a série diverge.
Explicação rápida de onde vem a fórmula (derivação por somas parciais): o somatório parcial S_N=\sum_{n=1}^{N} r^{n} satisfaz
Se |r|<1 então r^{N}\to 0 quando N\to\infty, logo S_N\to \dfrac{r}{1-r}.
Passo 4
Aplicar o critério ao caso concreto.
Aqui temos r=\dfrac{5}{7}. Calculando o módulo,
\left|\frac{5}{7}\right|=\frac{5}{7}<1.
Portanto a série geométrica interna \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{5}{7}\right)^{n} converge, e consequentemente a série dada (multiplicada por \tfrac{4}{3}) também converge.
Passo 5
Calcular a soma (passo a passo e simplificando sem calculadora).
Usando a fórmula da soma da série geométrica:
Interpretação final e checagem rápida.
A série converge porque a razão geométrica \dfrac{5}{7} tem módulo menor que 1. A soma calculada \dfrac{10}{3} pode ser verificada reconstituindo os passos: primeiro soma geométrica \dfrac{5}{2}, depois multiplicar por \dfrac{4}{3}.