Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{3}\left(\frac{5}{7}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{3}\left(\frac{5}{7}\right)^{n}
é convergente ou divergente. Se for convergente, pede também encontrar a sua soma.
Informações dadas explicitamente:
  • O termo geral é \dfrac{4}{3}\left(\dfrac{5}{7}\right)^{n}.
  • A constante multiplicativa é \dfrac{4}{3}.
  • A potência tem base \dfrac{5}{7} elevada a n, com n variando de 1 a +\infty.

Passo 2

Reconhecer o tipo de série (aula rápida e prática).
Uma série da forma \sum_{n=1}^{\infty} c\,r^{n}, com c constante e r fixe, é uma série geométrica (ou um múltiplo de uma série geométrica). Podemos escrever a série dada como
\frac{4}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{7}\right)^{n},
ou seja, é \dfrac{4}{3} vezes a série geométrica com razão r=\dfrac{5}{7}. É útil fatorar constantes assim porque a convergência e a soma dependem só da parte geométrica.

Passo 3

Critério de convergência e fórmula da soma para séries geométricas (mini-aula).
Para uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} vale a propriedade:
  • Se |r|<1, a série converge e \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.
  • Se |r|\ge 1, a série diverge.
Explicação rápida de onde vem a fórmula (derivação por somas parciais): o somatório parcial S_N=\sum_{n=1}^{N} r^{n} satisfaz
S_N = r\frac{1-r^{N}}{1-r}\quad\text{para }r\neq 1.
Se |r|<1 então r^{N}\to 0 quando N\to\infty, logo S_N\to \dfrac{r}{1-r}.

Passo 4

Aplicar o critério ao caso concreto.
Aqui temos r=\dfrac{5}{7}. Calculando o módulo,
\left|\frac{5}{7}\right|=\frac{5}{7}<1.
Portanto a série geométrica interna \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{5}{7}\right)^{n} converge, e consequentemente a série dada (multiplicada por \tfrac{4}{3}) também converge.

Passo 5

Calcular a soma (passo a passo e simplificando sem calculadora).
Usando a fórmula da soma da série geométrica:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{7}\right)^{n}=\frac{\tfrac{5}{7}}{1-\tfrac{5}{7}}.
Calcule o denominador:
1-\frac{5}{7}=\frac{2}{7}.
Logo
\frac{\tfrac{5}{7}}{\tfrac{2}{7}}=\frac{5}{2}.
Multiplicando pela constante \tfrac{4}{3} que estava fora da soma:
\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{2}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida.
A série converge porque a razão geométrica \dfrac{5}{7} tem módulo menor que 1. A soma calculada \dfrac{10}{3} pode ser verificada reconstituindo os passos: primeiro soma geométrica \dfrac{5}{2}, depois multiplicar por \dfrac{4}{3}.

Resposta

A série é convergente e sua soma é \dfrac{10}{3}.

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