Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Σ_{i=1}^{N}(sen 100)^{i}

Passo 1

O enunciado fornece a soma
\sum_{i=1}^{N}(\operatorname{sen} 100)^{i}
e pede para determinar se a série é convergente ou divergente; se for convergente, calcular a sua soma. Observação: aqui vou usar a notação matemática \sin para a função seno (no enunciado está escrito “sen”), ou seja, a soma é \sum_{i=1}^{N}(\sin 100)^{i}.

Passo 2

Identificamos que cada termo da soma é uma potência da mesma constante \sin 100. Sequências/séries cujos termos são r, r^{2}, r^{3},\dots com r fixo são chamadas séries geométricas. É importante saber duas fórmulas e um critério:
Fórmula da soma parcial (soma até N) para r\neq 1:
S_{N}=\sum_{i=1}^{N} r^{i}=r\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Vou demonstrar essa fórmula passo a passo (é um truque muito útil na prova):
Começamos com
S_{N}=r+r^{2}+r^{3}+\cdots+r^{N}.
Multiplicando ambos os lados por 1-r obtemos
(1-r)S_{N}=S_{N}-rS_{N}=(r+r^{2}+\cdots+r^{N})-(r^{2}+r^{3}+\cdots+r^{N+1}).
Ao subtrair os termos telescopamos e sobra apenas
(1-r)S_{N}=r-r^{N+1}.
Dividindo por 1-r (assumindo r\neq 1) chega-se à fórmula
S_{N}=r\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Critério de convergência para a série infinita: a série geométrica infinita
\sum_{i=1}^{\infty} r^{i}
converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é o limite das somas parciais quando N\to\infty. Se |r|<1, então r^{N}\to 0 quando N\to\infty, e portanto
\sum_{i=1}^{\infty} r^{i}=\lim_{N\to\infty} S_{N}=\lim_{N\to\infty} r\frac{1-r^{N}}{1-r}=\frac{r}{1-r}.
Se |r|\ge 1 a série diverge (não tem soma finita).

Passo 3

Agora aplicamos isso ao nosso caso, com r=\sin 100.
Primeiro, sabemos que para qualquer real x vale -1\le \sin x\le 1. Logo |\sin 100|\le 1. Precisamos saber se é estritamente menor que 1 para que a série infinita convirja. As igualdades \sin x=1 ou \sin x=-1 ocorrem somente quando
x=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\text{para algum inteiro }k.
No caso x=100 (sem unidade indicada, portanto em radianos), isso exigiria que \dfrac{100-\pi/2}{\pi} fosse um número inteiro. Mas
\frac{100}{\pi}\approx 31,83,
então \dfrac{100-\pi/2}{\pi}=\dfrac{100}{\pi}-\tfrac12\approx 31,33, que não é inteiro. Portanto \sin 100 não é nem 1 nem -1. Concluímos que
|\sin 100|<1.

Passo 4

Como |r|<1 com r=\sin 100, a série geométrica infinita converge. Aplicando a fórmula da soma para N\to\infty obtemos
\sum_{i=1}^{\infty}(\sin 100)^{i}=\frac{\sin 100}{1-\sin 100}.
Também (para referência, caso queiras) a soma parcial até N é
\sum_{i=1}^{N}(\sin 100)^{i}=\sin 100\cdot\frac{1-(\sin 100)^{N}}{1-\sin 100}.

Resposta

Convergente
\displaystyle \frac{\sin 100}{1-\sin 100}

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