Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado fornece a soma
e pede para determinar se a série é convergente ou divergente; se for convergente, calcular a sua soma. Observação: aqui vou usar a notação matemática
para a função seno (no enunciado está escrito “sen”), ou seja, a soma é
.
Passo 2
Identificamos que cada termo da soma é uma potência da mesma constante
. Sequências/séries cujos termos são
com
fixo são chamadas séries geométricas. É importante saber duas fórmulas e um critério:
Fórmula da soma parcial (soma até
) para
:
Vou demonstrar essa fórmula passo a passo (é um truque muito útil na prova):
Começamos com
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Ao subtrair os termos telescopamos e sobra apenas
Dividindo por
(assumindo
) chega-se à fórmula
Critério de convergência para a série infinita: a série geométrica infinita
converge se, e somente se,
. Nesse caso a soma é o limite das somas parciais quando
. Se
, então
quando
, e portanto
Se
a série diverge (não tem soma finita).
Passo 3
Agora aplicamos isso ao nosso caso, com
.
Primeiro, sabemos que para qualquer real
vale
. Logo
. Precisamos saber se é estritamente menor que
para que a série infinita convirja. As igualdades
ou
ocorrem somente quando
No caso
(sem unidade indicada, portanto em radianos), isso exigiria que
fosse um número inteiro. Mas
então
, que não é inteiro. Portanto
não é nem
nem
. Concluímos que
Passo 4
Como
com
, a série geométrica infinita converge. Aplicando a fórmula da soma para
obtemos
Também (para referência, caso queiras) a soma parcial até
é
Resposta
Convergente