Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Σ_{n=1}^{∞} \frac{6 \cdot 2^{3-1}}{3^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{6\cdot 2^{3-1}}{3^{4}}
é convergente ou divergente e, se convergente, calcular a sua soma.
Informações dadas: a expressão do termo geral é \dfrac{6\cdot 2^{3-1}}{3^{4}}. Observa-se que essa expressão não depende de n (ou seja, todos os termos da série são iguais entre si).

Passo 2

Vamos lembrar o que é uma série geométrica e seu critério de convergência.
Uma série geométrica no formato habitual é
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1},
onde:
  • \;a\; é o primeiro termo (um número fixo);
  • \;r\; é a razão (o fator que multiplica um termo para obter o próximo).
Propriedade importante (critério de convergência e soma):
  • Se |r|<1, a série geométrica converge e sua soma é
\frac{a}{1-r}.
  • Se |r|\ge 1, a série geométrica diverge (a soma infinita não existe), salvo o caso excepcional a=0 em que todos os termos são zero e a soma é 0.
Explicação intuitiva: quando |r|<1, os termos a r^{n-1} vão a zero rápido o suficiente para que a soma infinita tenha um valor finito; se |r|\ge 1, os termos não tendem a zero (ou permanecem constantes), então somar infinitamente resulta em divergência.

Passo 3

Identificamos os dados do nosso caso. A série dada tem termo geral constante (não depende de n), logo ela pode ser vista como uma série geométrica com razão \;r=1\; (pois um termo igual ao próximo corresponde a multiplicar por 1). Precisamos também calcular o valor desse termo (que é o a). Calculando passo a passo:
2^{3-1}=2^{2}=4,
então
\frac{6\cdot 2^{3-1}}{3^{4}}=\frac{6\cdot 4}{3^{4}}=\frac{24}{3^{4}}.
Como 3^{4}=81, obtemos
\frac{24}{81}=\frac{8}{27}.
Portanto, cada termo da série vale \dfrac{8}{27}. Podemos ver a série como
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{8}{27} = \sum_{n=1}^{\infty} a\cdot 1^{\,n-1}
com a=\dfrac{8}{27} e r=1.

Passo 4

Aplicando o critério do passo 2: aqui |r|=|1|=1, que não é menor que 1. Além disso a=\dfrac{8}{27}\neq 0. Logo a série diverge. Intuição prática: estamos somando infinitamente um número positivo fixo \dfrac{8}{27}, então a soma cresce sem limite (tende a +\infty).

Resposta

Divergente (cada termo vale \tfrac{8}{27}; soma não existe)

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