Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente e, se convergente, calcular a sua soma.
Informações dadas: a expressão do termo geral é . Observa-se que essa expressão não depende de
(ou seja, todos os termos da série são iguais entre si).
Informações dadas: a expressão do termo geral é
Passo 2
Vamos lembrar o que é uma série geométrica e seu critério de convergência.
Uma série geométrica no formato habitual é
Uma série geométrica no formato habitual é
onde:
-
é o primeiro termo (um número fixo); -
é a razão (o fator que multiplica um termo para obter o próximo).
Propriedade importante (critério de convergência e soma):
- Se
, a série geométrica converge e sua soma é
- Se
, a série geométrica diverge (a soma infinita não existe), salvo o caso excepcional em que todos os termos são zero e a soma é .
Explicação intuitiva: quando
, os termos
vão a zero rápido o suficiente para que a soma infinita tenha um valor finito; se
, os termos não tendem a zero (ou permanecem constantes), então somar infinitamente resulta em divergência.
Passo 3
Identificamos os dados do nosso caso. A série dada tem termo geral constante (não depende de
), logo ela pode ser vista como uma série geométrica com razão
(pois um termo igual ao próximo corresponde a multiplicar por
). Precisamos também calcular o valor desse termo (que é o
). Calculando passo a passo:
então
Como
, obtemos
Portanto, cada termo da série vale
. Podemos ver a série como
com
e
.
Passo 4
Aplicando o critério do passo 2: aqui
, que não é menor que
. Além disso
. Logo a série diverge. Intuição prática: estamos somando infinitamente um número positivo fixo
, então a soma cresce sem limite (tende a
).
Resposta
Divergente (cada termo vale
; soma não existe)