Determine se a série é convergente ou divergente Se for convergente, calcule sua soma:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
e decidir se ela converge ou diverge. Como o termo geral envolve fatoração em
,
e
, é natural usar decomposição em frações parciais e observar um possível efeito telescópico.
Passo 2
Vamos escrever
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Para achar
,
e
, basta escolher valores convenientes de
:
- Se
: , logo . - Se
: , logo . - Se
: , logo .
Portanto
Passo 3
Reescrevendo de modo a evidenciar o telescópio, observe que
Somando com o termo
dá
Isso indica que, ao somar de
até
, muitos termos se cancelam.
Passo 4
Definindo a soma parcial
pela forma telescópica resulta
Quase tudo cancela, sobrando
Como
quando
, temos
Passo 5
Logo a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série converge e