Determine se a série é convergente ou divergente Se for convergente, calcule sua soma:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}
e, se convergente, calcular sua soma. O método útil aqui é a decomposição em frações parciais, que leva a uma série telescópica.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} =\frac{A}{3n-2}+\frac{B}{3n+1}.
Multiplicando ambos os lados por (3n-2)(3n+1), obtemos
1 = A(3n+1) + B(3n-2) = (3A+3B)n + (A-2B).
Igualando coeficientes:
3A+3B=0,\quad A-2B=1
A+B=0,\quad A=1+2B
Substituindo A=-B em A-2B=1 -B -2B=1, ou seja 3B=-1, logo B=-\tfrac13 e A=\tfrac13. Assim
\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} =\frac{1}{3}\Bigl(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\Bigr).

Passo 3

Considere a soma parcial S_N:
S_N = \sum_{n=1}^N \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3}\sum_{n=1}^N\Bigl(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\Bigr).
Ao escrever os primeiros termos nota-se o cancelamento telescópico:
S_N = \frac{1}{3}\Bigl(\frac{1}{1}-\frac{1}{4} +\frac{1}{4}-\frac{1}{7} +\cdots +\frac{1}{3N-2}-\frac{1}{3N+1}\Bigr) = \frac{1}{3}\Bigl(1-\frac{1}{3N+1}\Bigr).

Passo 4

Fazendo N\to\infty, o termo \tfrac{1}{3N+1} tende a zero. Logo
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} =\lim_{N\to\infty}S_N =\frac{1}{3}\cdot1 =\frac{1}{3}.
Portanto a série converge.

Resposta

A série converge e sua soma é \tfrac{1}{3}.

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