Determine se a série é convergente ou divergente Se for convergente, calcule sua soma:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
e, se convergente, calcular sua soma. O método útil aqui é a decomposição em frações parciais, que leva a uma série telescópica.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Igualando coeficientes:
Substituindo
em
dá
, ou seja
, logo
e
. Assim
Passo 3
Considere a soma parcial
:
Ao escrever os primeiros termos nota-se o cancelamento telescópico:
Passo 4
Fazendo
, o termo
tende a zero. Logo
Portanto a série converge.
Resposta
A série converge e sua soma é
.