Determine se a série é convergente ou divergente Se for convergente, calcule sua soma:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}
e decidir se ela converge ou diverge. Como o termo geral envolve fatoração em n, n+1 e n+2, é natural usar decomposição em frações parciais e observar um possível efeito telescópico.

Passo 2

Vamos escrever
\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}.
Multiplicando ambos os lados por n(n+1)(n+2), obtemos
1 = A(n+1)(n+2) + B\,n(n+2) + C\,n(n+1).
Para achar A, B e C, basta escolher valores convenientes de n:
  • Se n=0: 1 = A\cdot1\cdot2, logo A=\tfrac12.
  • Se n=-1: 1 = B\cdot(-1)\cdot1, logo B=-1.
  • Se n=-2: 1 = C\cdot(-2)\cdot(-1), logo C=\tfrac12.
Portanto
\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1/2}{n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1/2}{n+2}.

Passo 3

Reescrevendo de modo a evidenciar o telescópio, observe que
\frac{1/2}{n} + \frac{1/2}{n+2} = \frac12\Bigl(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\Bigr) + \frac12\Bigl(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\Bigr).
Somando com o termo -\frac{1}{n+1}
\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac12\Bigl(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\Bigr) - \frac12\Bigl(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\Bigr).
Isso indica que, ao somar de n=1 até N, muitos termos se cancelam.

Passo 4

Definindo a soma parcial
S_{N} = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(n+1)(n+2)},
pela forma telescópica resulta
S_{N} = \frac12\Bigl(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\Bigr) - \frac12\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\Bigr) + \frac12\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\Bigr) - \frac12\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\Bigr) +\cdots - \frac12\Bigl(\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\Bigr).
Quase tudo cancela, sobrando
S_{N} = \frac12\Bigl(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\Bigr) \;-\;\frac12\Bigl(\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\Bigr).
Como \frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\to0 quando N\to\infty, temos

Passo 5

\lim_{N\to\infty} S_{N} = \frac12\Bigl(1 - \tfrac12\Bigr) = \frac12\cdot \frac12 = \frac14.
Logo a série converge e sua soma é \tfrac14.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac14.

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