Exprese o número como uma razão de inteiros:
4, \overline{1570}

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número periódico 4,\overline{1570} como uma razão de dois inteiros. O conteúdo que vamos usar é a técnica de transformar uma parte decimal periódica em fração, seja por séries geométricas ou por operações algébricas simples.

Passo 2

Seja
x = 4,\overline{1570}.
A parte inteira é 4 e a parte decimal periódica é 0,\overline{1570}. Definimos
y = 0,\overline{1570}.

Passo 3

Como o período tem 4 dígitos, multiplicamos y por 10^4:
10^4 y = 1570,\overline{1570}.
Subtraindo y de 10^4 y para eliminar a parte periódica, temos
10^4 y - y = 1570,\overline{1570} - 0,\overline{1570} \quad\Longrightarrow\quad 9999\,y = 1570 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{1570}{9999}.

Passo 4

Voltando a x, escrevemos
x = 4 + y = 4 + \frac{1570}{9999} = \frac{4\cdot 9999 + 1570}{9999} = \frac{39996 + 1570}{9999} = \frac{41566}{9999}.
O máximo divisor comum de 41566 e 9999 é 1, logo a fração já está irredutível.

Resposta

\displaystyle \frac{41566}{9999}

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