Determine se a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente, ache a sua soma.
sumn=1^infty 32(15)^n

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa achar a soma dela. Vamos usar conceitos de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da série. Numa série geométrica da forma a1 = 32 (15)^1 = 32 cdot 15 = 310 , r = 15 é o primeiro termo e é a razão. No nosso caso, a série começa em , então precisamos ajustar:

Passo 3

Agora, vamos verificar a convergência da série. Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
Nesse caso, , e . Portanto, a série converge.

Passo 4

Como a série é convergente, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a11 - r

Passo 5

Substituindo os valores que encontramos:
S = 3101 - 15 = 31045 = 310 times 54 = 1540 = 38

Resposta

A série é convergente e a sua soma é .

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