Determine se a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente, ache a sua soma.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa achar a soma dela. Vamos usar conceitos de séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da série. Numa série geométrica da forma
,
é o primeiro termo e
é a razão. No nosso caso, a série começa em
, então precisamos ajustar:
Passo 3
Agora, vamos verificar a convergência da série. Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
.
Nesse caso,
, e
. Portanto, a série converge.
Passo 4
Como a série é convergente, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Passo 5
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A série é convergente e a sua soma é
.