Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo
O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor definido) ou se diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência. Vamos precisar verificar se os termos da série estão diminuindo e tendem a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos notar que essa série é alternada porque o termo
faz com que os sinais dos termos mudem de positivo para negativo e vice-versa conforme
aumenta. Séries alternadas podem convergir mesmo que os termos não sejam sempre positivos.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que, para uma série alternada da forma
, a série converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
são positivos. - A sequência
é decrescente e tende a zero quando vai para o infinito.
No nosso caso,
, que é sempre positiva para
. Vamos verificar se
está diminuindo e tende a zero.
Passo 4
Para ver se
está diminuindo, observamos que tanto
quanto
aumentam conforme
cresce, então
diminui. Além disso, quando
vai para o infinito,
tende a zero porque
cresce sem limites, fazendo com que
se aproxime de zero.
Passo 5
Até aqui, concluímos que a série atende aos critérios do Teste da Série Alternada, ou seja, ela converge. Mas será que ela converge de forma absoluta? Vamos dar uma olhada rápida nisso.
Passo 6
Para verificar a convergência absoluta, analisamos a série dos valores absolutos:
Essa série é semelhante a uma série
-harmônica com
, mas com um fator extra de
. Sabemos que
diverge e, como
cresce,
diminui mais devagar, o que ainda faz essa série divergir.
Resposta
A série
converge condicionalmente.