Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty (-1)^n+1n ln n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita do tipo
sumn=1^infty (-1)^n+1n ln n
O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, se ela tem um valor definido) ou se diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência. Vamos precisar verificar se os termos da série estão diminuindo e tendem a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que essa série é alternada porque o termo faz com que os sinais dos termos mudem de positivo para negativo e vice-versa conforme aumenta. Séries alternadas podem convergir mesmo que os termos não sejam sempre positivos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que, para uma série alternada da forma , a série converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos são positivos.
  2. A sequência é decrescente e tende a zero quando vai para o infinito.
No nosso caso, , que é sempre positiva para . Vamos verificar se está diminuindo e tende a zero.

Passo 4

Para ver se está diminuindo, observamos que tanto quanto aumentam conforme cresce, então diminui. Além disso, quando vai para o infinito, tende a zero porque cresce sem limites, fazendo com que se aproxime de zero.

Passo 5

Até aqui, concluímos que a série atende aos critérios do Teste da Série Alternada, ou seja, ela converge. Mas será que ela converge de forma absoluta? Vamos dar uma olhada rápida nisso.

Passo 6

Para verificar a convergência absoluta, analisamos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty 1n ln n
Essa série é semelhante a uma série -harmônica com , mas com um fator extra de . Sabemos que diverge e, como cresce, diminui mais devagar, o que ainda faz essa série divergir.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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