Dada a equação diferencial y' = x + y, y = y(x). Mostre que y(x) = 2 * e^x - x - 1 é solução da EDO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial , e queremos mostrar que a função é uma solução dessa equação. Vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial para verificar se, ao substituir essa função na equação, ela realmente satisfaz a igualdade.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada, representada por , nos mostra a taxa de variação de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular cada termo da derivada separadamente:
  1. A derivada de é , porque a derivada de é .
  2. A derivada de é , já que a derivada de é 1.
  3. A derivada de é 0, pois constantes desaparecem na derivação.
Então,

Passo 4

Agora, vamos substituir e na equação diferencial original para verificar se a igualdade se mantém:

Passo 5

Simplificando o lado direito da equação:
Portanto, temos:
Isso mostra que a igualdade é verdadeira.

Resposta

Assim, verificamos que satisfaz a equação diferencial , confirmando que é uma solução da EDO.

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