Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n{2}}{n{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{3}+1}
é convergente ou divergente. O conteúdo aqui são testes de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste de comparação por limite.

Passo 2

Para n grande, o denominador n^{3}+1 fica muito próximo de n^{3}, de modo que
\frac{n^{2}}{n^{3}+1} \sim \frac{n^{2}}{n^{3}} = \frac{1}{n}.
Isso sugere comparar com a série harmônica \sum 1/n.

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação por limite:
L = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2}}{n^{3}+1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3}}{n^{3}+1} = 1.
Como 0 < L < \infty e \sum 1/n é divergente, a série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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