Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+4}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+4}
e pede para decidir se ela converge ou diverge. Esse é um conteúdo de testes de convergência de séries numéricas. Vamos usar o teste de comparação com a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}},
que é convergente sempre que p>1.

Passo 2

Para todo n\ge1 vale
n^{2}+4\ge n^{2} \quad\Longrightarrow\quad 0<\frac{1}{n^{2}+4}\le\frac{1}{n^{2}}.
Como a p-série \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2} converge (pois p=2>1), pelo teste da comparação a série dada também converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+4} é convergente.

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