Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}+4}{n^{2}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}+4}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da série de termos positivos
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries pelo critério de comparação com p-séries e pela soma de séries conhecidas.
Passo 2
Vamos separar o termo geral em duas parcelas mais simples. Observe que
Passo 3
Recordando que a p-série
converge se, e somente se,
.
Aqui temos duas p-séries:
Aqui temos duas p-séries:
-
com , portanto converge. -
com , portanto também converge.
Passo 4
Como soma de séries convergentes é convergente, concluímos que
é uma série convergente.
Resposta
A série é convergente.