Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}+4}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}+4}{n^{2}}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries pelo critério de comparação com p-séries e pela soma de séries conhecidas.

Passo 2

Vamos separar o termo geral em duas parcelas mais simples. Observe que
\frac{\sqrt{n}+4}{n^{2}} =\frac{\sqrt{n}}{n^{2}}+\frac{4}{n^{2}} =\frac{1}{n^{3/2}}+\frac{4}{n^{2}}.

Passo 3

Recordando que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1.
Aqui temos duas p-séries:
  1. \sum 1/n^{3/2} com p=3/2>1, portanto converge.
  2. \sum 4/n^{2} com p=2>1, portanto também converge.

Passo 4

Como soma de séries convergentes é convergente, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n}+4}{n^{2}}
é uma série convergente.

Resposta

A série é convergente.

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