Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n}{3 n+1}\right)
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n}{3 n+1}\right)
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral da série é
. - A pergunta é única: decidir convergência (soma finita) ou divergência.
Passo 2
Calcular o limite do termo geral
quando
. Primeiro simplificar a fração dentro do logaritmo dividindo numerador e denominador por
:
Como
quando
, temos
Aplicando a continuidade do logaritmo (logaritmo natural), obtém-se
Observação:
é um número constante diferente de zero.
Passo 3
Apresentar o teste do termo geral (condição necessária para convergência): se a série
converge, então o termo geral satisfaz
Explicação rápida do porquê: se as somas parciais
convergem para algum
, então
e, passando ao limite em ambos os lados, obtemos
. Portanto a condição
é necessária (mas não suficiente) para a convergência de uma série.
Passo 4
Aplicar o teste do termo geral ao nosso caso: vimos que
Portanto a condição necessária para convergência não é satisfeita.
Resposta
Divergente.