Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n}{3 n+1}\right)

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\left(\frac{n}{3n+1}\right)
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral da série é a_n=\ln\!\left(\dfrac{n}{3n+1}\right).
  • A pergunta é única: decidir convergência (soma finita) ou divergência.

Passo 2

Calcular o limite do termo geral a_n quando n\to\infty. Primeiro simplificar a fração dentro do logaritmo dividindo numerador e denominador por n:
\frac{n}{3n+1}=\frac{1}{3+\dfrac{1}{n}}.
Como \dfrac{1}{n}\to0 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{3n+1}=\frac{1}{3}.
Aplicando a continuidade do logaritmo (logaritmo natural), obtém-se
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\ln\!\left(\frac{n}{3n+1}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{3}\right)=-\ln 3.
Observação: -\ln 3 é um número constante diferente de zero.

Passo 3

Apresentar o teste do termo geral (condição necessária para convergência): se a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge, então o termo geral satisfaz
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Explicação rápida do porquê: se as somas parciais S_N=\sum_{n=1}^N a_n convergem para algum S, então a_N=S_N-S_{N-1} e, passando ao limite em ambos os lados, obtemos \lim_{N\to\infty} a_N=S-S=0. Portanto a condição \lim a_n=0 é necessária (mas não suficiente) para a convergência de uma série.

Passo 4

Aplicar o teste do termo geral ao nosso caso: vimos que
\lim_{n\to\infty} a_n = -\ln 3 \neq 0.
Portanto a condição necessária para convergência não é satisfeita.

Resposta

Divergente.

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