Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{\ln n}}
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{\ln n}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente.
Informações dadas e observações iniciais:
- O termo geral é
. - A soma começa em
. - A função
é o logaritmo natural. Para temos , então os termos são bem definidos e positivos. - A pergunta é única: verificar convergência ou divergência da série.
Passo 2
Escolha do método: a série tem termos positivos e envolve uma expressão com
e
. Um método natural e eficiente aqui é o Teste da Integral (às vezes chamado de Critério Integral). Vou usar esse teste porque transforma a soma em uma integral que é fácil de avaliar depois de uma substituição. Antes de aplicar o teste é preciso verificar as hipóteses (função positiva, contínua e decrescente) para poder usá-lo.
Passo 3
Associar a uma função contínua: defina a função
Verificar as hipóteses do Teste da Integral:
- Positividade: para
tem-se , então . - Continuidade:
é composição de funções contínuas em (exceto em , que não interessa), logo é contínua em . - Monotonicidade (decrescente): vamos mostrar que
é decrescente (derivada negativa) para .
Cálculo da derivada. Escrevendo
. Seja
. Então
Note que
para todo
. Como
, tem-se
Logo
é decrescente em
. Portanto todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.
Passo 4
Aplicar o Teste da Integral: a série
tem o mesmo comportamento (converge ou diverge) que a integral imprópria
Calcule essa integral fazendo a substituição natural
. Então
. Quando
temos
; quando
temos
. A integral transforma-se em
Passo 5
Avaliar a integral
. A primitiva de
é
. Assim
Fazendo
obtemos que a integral diverge para
(pois
). Portanto a integral imprópria
diverge.
Pelo Teste da Integral, como a integral associada diverge, a série
também diverge.
Resposta
Divergente.