Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{\ln n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{\ln n}}
é convergente ou divergente.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{n\sqrt{\ln n}}.
  • A soma começa em n=2.
  • A função \ln n é o logaritmo natural. Para n\ge2 temos \ln n>0, então os termos são bem definidos e positivos.
  • A pergunta é única: verificar convergência ou divergência da série.

Passo 2

Escolha do método: a série tem termos positivos e envolve uma expressão com n e \ln n. Um método natural e eficiente aqui é o Teste da Integral (às vezes chamado de Critério Integral). Vou usar esse teste porque transforma a soma em uma integral que é fácil de avaliar depois de uma substituição. Antes de aplicar o teste é preciso verificar as hipóteses (função positiva, contínua e decrescente) para poder usá-lo.

Passo 3

Associar a uma função contínua: defina a função
f(x)=\frac{1}{x\sqrt{\ln x}},\qquad x\ge2.
Verificar as hipóteses do Teste da Integral:
  • Positividade: para x\ge2 tem-se \ln x>0, então f(x)>0.
  • Continuidade: f é composição de funções contínuas em x\ge2 (exceto em x=1, que não interessa), logo é contínua em [2,\infty).
  • Monotonicidade (decrescente): vamos mostrar que f é decrescente (derivada negativa) para x\ge2.
Cálculo da derivada. Escrevendo f(x)=(x(\ln x)^{1/2})^{-1}. Seja g(x)=x(\ln x)^{1/2}. Então
g'(x)=(\ln x)^{1/2}+x\cdot\frac{1}{2}(\ln x)^{-1/2}\cdot\frac{1}{x}=(\ln x)^{1/2}+\tfrac{1}{2}(\ln x)^{-1/2}.
Note que g'(x)>0 para todo x>1. Como f(x)=1/g(x), tem-se
f'(x)=-\frac{g'(x)}{g(x)^2}<0\quad\text{para }x\ge2.
Logo f é decrescente em [2,\infty). Portanto todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicar o Teste da Integral: a série \sum_{n=2}^\infty a_n tem o mesmo comportamento (converge ou diverge) que a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\sqrt{\ln x}}.
Calcule essa integral fazendo a substituição natural t=\ln x. Então dt=\dfrac{dx}{x}. Quando x=2 temos t=\ln 2; quando x\to\infty temos t\to\infty. A integral transforma-se em
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\sqrt{\ln x}}=\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{t}}=\int_{\ln 2}^{\infty} t^{-1/2}\,dt.

Passo 5

Avaliar a integral \displaystyle\int_{\ln 2}^{\infty} t^{-1/2}\,dt. A primitiva de t^{-1/2} é 2t^{1/2}. Assim
\int_{\ln 2}^{T} t^{-1/2}\,dt = \left[2t^{1/2}\right]_{t=\ln 2}^{t=T}=2\sqrt{T}-2\sqrt{\ln 2}.
Fazendo T\to\infty obtemos que a integral diverge para +\infty (pois \sqrt{T}\to\infty). Portanto a integral imprópria \displaystyle\int_{2}^{\infty}\dfrac{dx}{x\sqrt{\ln x}} diverge.
Pelo Teste da Integral, como a integral associada diverge, a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{\ln n}}
também diverge.

Resposta

Divergente.

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