Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot(2 n-1)}{5^{n} n!}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot(2 n-1)}{5^{n} n!}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas:
- O numerador é o produto dos
primeiros números ímpares, isto é, . - O denominador é
. - A série é com termos positivos (cada termo é positivo para
).
A pergunta é simplesmente: a série converge ou diverge?
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o numerador
. Esse produto é conhecido como fatorial duplo ímpar e pode ser escrito em termos de fatorial comum. Observe que
Separei os fatores pares e ímpares:
- produto dos ímpares é
, - produto dos pares é
.
Logo, isolando o produto dos ímpares,
Passo 3
Substituindo essa expressão no termo geral da série, obtemos
Reconhecemos a combinação binomial central
Portanto
Passo 4
Um método natural aqui é o Teste da Razão (Teste de d’Alembert). Ele diz:
- Para termos
, calcule . - Se
a série converge; se diverge; se o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar esse teste aoque encontramos.
Passo 5
Calculemos a razão
. Usando
,
Agora simplificamos a razão das combinações. Usando a definição,
Portanto
Passo 6
Simplificamos a expressão anterior para facilitar o limite:
Agora tomamos o limite quando
:
Como
, pelo Teste da Razão a série
converge.
Passo 7
Comentário didático-final e reforço: os termos são positivos, então a convergência obtida pelo teste da razão é convergência absoluta. Intuição rápida: usando a aproximação clássica
, tem-se
ou seja, os termos caem geometricamente com razão
, o que também explica por que a série converge. Boa! Isso confirma o resultado do teste da razão.
Resposta
A série é convergente (convergente absolutamente).