Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot(2 n-1)}{5^{n} n!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{5^{n}n!}
é convergente ou divergente. Informações dadas:
  • O numerador é o produto dos n primeiros números ímpares, isto é, 1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1).
  • O denominador é 5^{n}n!.
  • A série é com termos positivos (cada termo é positivo para n\ge1).
    A pergunta é simplesmente: a série converge ou diverge?

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o numerador 1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1). Esse produto é conhecido como fatorial duplo ímpar e pode ser escrito em termos de fatorial comum. Observe que
(2n)! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdots(2n-1)\cdot(2n).
Separei os fatores pares e ímpares:
  • produto dos ímpares é 1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1),
  • produto dos pares é 2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=2\cdot1\cdot2\cdot3\cdots n = 2^{n} n!.
    Logo, isolando o produto dos ímpares,
1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}.

Passo 3

Substituindo essa expressão no termo geral da série, obtemos
a_n=\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{5^{n}n!}=\frac{(2n)!}{2^{n}n!\;5^{n}n!}=\frac{(2n)!}{10^{n}(n!)^{2}}.
Reconhecemos a combinação binomial central
\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}.
Portanto
a_n=\frac{\binom{2n}{n}}{10^{n}}.

Passo 4

Um método natural aqui é o Teste da Razão (Teste de d’Alembert). Ele diz:
  • Para termos a_n\ge0, calcule L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1 a série \sum a_n converge; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
    Vamos aplicar esse teste ao a_n que encontramos.

Passo 5

Calculemos a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Usando a_n=\dfrac{\binom{2n}{n}}{10^{n}},
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\binom{2n+2}{\,n+1\,}}{10^{n+1}}\cdot\frac{10^{n}}{\binom{2n}{n}} =\frac{\binom{2n+2}{\,n+1\,}}{\binom{2n}{n}}\cdot\frac{1}{10}.
Agora simplificamos a razão das combinações. Usando a definição,
\frac{\binom{2n+2}{\,n+1\,}}{\binom{2n}{n}} =\frac{\dfrac{(2n+2)!}{(n+1)!(n+1)!}}{\dfrac{(2n)!}{n!n!}} =\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{2}}.
Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{2}}\cdot\frac{1}{10}.

Passo 6

Simplificamos a expressão anterior para facilitar o limite:
\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{2}}\cdot\frac{1}{10} =\frac{2(n+1)\,(2n+1)}{(n+1)^{2}}\cdot\frac{1}{10} =\frac{2(2n+1)}{10(n+1)} =\frac{4n+2}{10n+10}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{4n+2}{10n+10} =\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.
Como L=\dfrac{2}{5}<1, pelo Teste da Razão a série \sum a_n converge.

Passo 7

Comentário didático-final e reforço: os termos são positivos, então a convergência obtida pelo teste da razão é convergência absoluta. Intuição rápida: usando a aproximação clássica \binom{2n}{n}\sim \dfrac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}}, tem-se
a_n=\frac{\binom{2n}{n}}{10^{n}}\sim\frac{4^{n}}{10^{n}\sqrt{\pi n}}=\frac{(4/10)^{n}}{\sqrt{\pi n}},
ou seja, os termos caem geometricamente com razão 4/10=0{,}4, o que também explica por que a série converge. Boa! Isso confirma o resultado do teste da razão.

Resposta

A série é convergente (convergente absolutamente).

Exercícios relacionados