Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{3 n-4}{n^{2}-2 n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{3n-4}{n^{2}-2n}
e pede para decidir se ela é convergente ou divergente. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o teste de comparação limite com a série harmônica.

Passo 2

Primeiro notamos que, para n grande, o termo geral
a_{n} = \frac{3n-4}{n^{2}-2n}
tem comportamento semelhante a \tfrac{3n}{n^{2}}=\tfrac{3}{n}. Para formalizar, aplicamos o teste de comparação limite com b_{n} = \tfrac{1}{n}.

Passo 3

Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3n-4}{n^{2}-2n}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n(3n-4)}{n^{2}-2n} = \lim_{n\to\infty}\frac{3n^{2}-4n}{n^{2}-2n}.
Como os graus do numerador e denominador são iguais, o limite dos coeficientes líderes é
L = \frac{3}{1} = 3.

Passo 4

O valor L é finito e L>0. Pelo teste de comparação limite, a série \sum a_{n} tem o mesmo comportamento da série \sum b_{n}=\sum \tfrac{1}{n}, que é divergente (série harmônica). Portanto a série dada também diverge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}\frac{3n-4}{n^{2}-2n} é divergente.

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