Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+6 n+13}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+6n+13}
é convergente ou divergente. Esse é um caso de série numérica de termos positivos, e vamos usar o teste de comparação com uma p-série conhecida.

Passo 2

Note que, para todo n\ge1,
n^{2}+6n+13 \ge n^{2},
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0 < \frac{1}{n^{2}+6n+13} \le \frac{1}{n^{2}}.
Sabemos que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
é convergente, pois é uma p-série com p=2>1.

Passo 3

Pelo teste de comparação direta, uma vez que
0 \le \frac{1}{n^{2}+6n+13} \le \frac{1}{n^{2}}
e \sum 1/n^{2} converge, concluímos que \sum 1/(n^{2}+6n+13) também converge.

Resposta

A série converge.

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