Determine se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{1 / n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{1/n}}{n^{2}}
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente. Trata-se de uma série de termos positivos, e vamos usar aqui o teste de comparação com a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}},
que sabemos convergir pois p=2>1.

Passo 2

Observamos que, para todo n\ge1, vale
e^{1/n}\le e^{1}=e.
Logo, o termo geral da nossa série satisfaz
0 \le \frac{e^{1/n}}{n^{2}}\;\le\;\frac{e}{n^{2}}.
Como a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e}{n^{2}}
é apenas uma constante e multiplicando a p-série de expoente 2, ela converge.

Passo 3

Pelo teste da comparação direta, tendo \frac{e^{1/n}}{n^{2}}\le \frac{e}{n^{2}} e sabendo que \sum e/n^{2} converge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{1/n}}{n^{2}}
também converge.

Resposta

A série é convergente.

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