Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^+infty n^nn !

Passo 1

O enunciado quer saber se a série
sumn=1^inftyn^nn!
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Como os termos são todos positivos, convergência absoluta é o mesmo que convergência simples. Para séries de termos positivos, um critério prático é o teste da razão.

Passo 2

Seja an = dfracn^nn!. Vamos calcular
L = limntoinftyan+1an
Temos
an+1an = (n+1)^n+1(n+1)!n^nn! = (n+1)^n+1(n+1),n^n = gl(n+1ngr)^n
e portanto
L = limntoinftyl(1+1nr)^n = e

Passo 3

Como L = e > 1, o teste da razão diz que a série diverge. Além disso, note que n^nn! não tende a zero, o que reforça a divergência pela condição necessária de convergência.

Resposta

A série é divergente.

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