Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 1(2 n-1)!

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty(-1)^n+11(2n-1)!
se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o conceito de convergência absoluta e o teste da razão de Cauchy para séries de termos não negativos.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos
sumn=1^infty|;(-1)^n+11(2n-1)!| =sumn=1^infty1(2n-1)!
Denotemos an=1(2n-1)!. Aplicamos o teste da razão:
L=limntoinftyan+1an =limntoinfty1(2(n+1)-1)!1(2n-1)! =limntoinfty(2n-1)!(2n+1)! =limntoinfty1(2n)(2n+1)=0
Como L<1, a série sum an converge.

Passo 3

A convergência de sumn=1^inftyan significa que
sumn=1^infty1(2n-1)!
é convergente. Logo a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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