Use a Regra da Cadeia para achar d zd t .
(a) z=x^2+y^2+x y, x=sin t, y=e^t

Passo 1

O enunciado pede dfracdzdt para a função composta
z = x^2 + y^2 + xy, x = sin t, y = e^t
Isso é um caso clássico de Regra da Cadeia em duas variáveis, onde usaremos
dzdt = partial zpartial x,dxdt + partial zpartial y,dydt

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y.
Da definição z = x^2 + y^2 + xy, temos
partial zpartial x = 2x + y, partial zpartial y = 2y + x

Passo 3

Calcular as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = ddt(sin t) = cos t, dydt = ddt(e^t) = e^t

Passo 4

Substituir tudo na fórmula da Regra da Cadeia:
dzdt = (2x + y),dxdt ;+;(2y + x),dydt = (2x + y)cos t ;+;(2y + x)e^t
Agora basta usar x=sin t e y=e^t:

Passo 5

Fazendo a troca x=sin t, y=e^t e distribuindo, obtém-se
dzdt = l(2sin t + e^tr)cos t + l(2e^t + sin tr)e^t
Podemos ainda escrever de forma expandida:
dzdt = 2sin tcos t + e^tcos t + 2e^2t + e^tsin t

Resposta

dzdt = l(2sin t + e^tr)cos t + l(2e^t + sin tr)e^t
ou, de modo expandido,
dzdt = 2sin tcos t + e^tcos t + 2e^2t + e^tsin t

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