Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n(\ln n)^{2}}.
  • A partir de n=2 a expressão \ln n é bem definida e positiva.
    O objetivo imediato será analisar a convergência da série formada pelos valores absolutos dos termos e, a partir disso, concluir sobre a convergência da série original.

Passo 2

Definições e estratégia de prova (explicadas passo a passo):
  • Dizemos que uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série de termos não negativos \sum |a_n| converge.
  • Se \sum a_n converge, mas \sum |a_n| diverge, diz-se que \sum a_n é condicionalmente convergente.
  • Se \sum |a_n| converge, então automaticamente \sum a_n converge (teorema: convergência absoluta implica convergência).
    Estratégia: calcular ou testar a convergência da série de valores absolutos
\sum_{n=2}^{\infty}\left|\;(-1)^{n+1}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}\right| = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}.
Se essa série convergir, a série original será absolutamente convergente.

Passo 3

Aplicar o Teste da Integral à série de termos positivos \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(\ln n)^{2}}.
Primeiro verifico as hipóteses do teste da integral para a função
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}},\qquad x\ge2.
Mostro que f é contínua, positiva e monotonicamente decrescente em [2,\infty).
Cálculo da derivada para provar que f é decrescente:
Reescrevendo f(x)=x^{-1}(\ln x)^{-2} e derivando,
f'(x)=-x^{-2}(\ln x)^{-2}-2x^{-2}(\ln x)^{-3} =-x^{-2}(\ln x)^{-3}\big(\ln x+2\big).
Para x\ge2 temos \ln x>0, logo \ln x+2>0. Assim f'(x)<0 para x\ge2. Portanto f é decrescente, positiva e contínua em [2,\infty), e as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 4

Calcular a integral imprópria associada:
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx.
Faço a substituição u=\ln x, então du=\dfrac{dx}{x}. Quando x=2 tem-se u=\ln 2; quando x\to\infty tem-se u\to\infty. A integral vira
\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u^{2}}\,du.
Essa integral é fácil de calcular:
\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u^{2}}\,du =\left[-\frac{1}{u}\right]_{u=\ln 2}^{u\to\infty} =0- \left(-\frac{1}{\ln 2}\right) =\frac{1}{\ln 2},
que é finita. Pelo teste da integral, como a integral converge, a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}
também converge.

Passo 5

Conclusão sobre a série original: como a série dos valores absolutos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}
converge, a série alternada original
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}
é absolutamente convergente. Pelo teorema da convergência absoluta, isso implica que ela também converge (não condicionalmente, mas de modo absoluto).
Dica final rápida (útil para prova): em geral séries do tipo \sum \dfrac{1}{n(\ln n)^{p}} com n\ge2 convergem se, e somente se, p>1; divergem para p\le1. Esse fato é obtido pelo mesmo teste da integral que usei acima.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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