Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta. \sum_{n=2}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações relevantes fornecidas:
O termo geral é (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n(\ln n)^{2}}.
A partir de n=2 a expressão \ln n é bem definida e positiva.
O objetivo imediato será analisar a convergência da série formada pelos valores absolutos dos termos e, a partir disso, concluir sobre a convergência da série original.
Passo 2
Definições e estratégia de prova (explicadas passo a passo):
Dizemos que uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série de termos não negativos \sum |a_n| converge.
Se \sum a_n converge, mas \sum |a_n| diverge, diz-se que \sum a_n é condicionalmente convergente.
Se \sum |a_n| converge, então automaticamente \sum a_n converge (teorema: convergência absoluta implica convergência).
Estratégia: calcular ou testar a convergência da série de valores absolutos
Se essa série convergir, a série original será absolutamente convergente.
Passo 3
Aplicar o Teste da Integral à série de termos positivos \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(\ln n)^{2}}.
Primeiro verifico as hipóteses do teste da integral para a função
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}},\qquad x\ge2.
Mostro que f é contínua, positiva e monotonicamente decrescente em [2,\infty).
Cálculo da derivada para provar que f é decrescente:
Reescrevendo f(x)=x^{-1}(\ln x)^{-2} e derivando,
Para x\ge2 temos \ln x>0, logo \ln x+2>0. Assim f'(x)<0 para x\ge2. Portanto f é decrescente, positiva e contínua em [2,\infty), e as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 4
Calcular a integral imprópria associada:
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx.
Faço a substituição u=\ln x, então du=\dfrac{dx}{x}. Quando x=2 tem-se u=\ln 2; quando x\to\infty tem-se u\to\infty. A integral vira
é absolutamente convergente. Pelo teorema da convergência absoluta, isso implica que ela também converge (não condicionalmente, mas de modo absoluto).
Dica final rápida (útil para prova): em geral séries do tipo \sum \dfrac{1}{n(\ln n)^{p}} com n\ge2 convergem se, e somente se, p>1; divergem para p\le1. Esse fato é obtido pelo mesmo teste da integral que usei acima.