Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e provar a resposta.
Informações relevantes dadas:
- O termo geral (sem o sinal alternante separado) é
. - Os módulos dos termos são
. - Quer-se classificar a convergência da série (absoluta, condicional ou divergente).
Passo 2
Definição e ideia que vou usar (explicada de forma clara):
- Uma série
é dita absolutamente convergente se a série dos módulos converge. - Se
diverge mas converge, dizemos que a convergência é condicional. - Um teste prático muito útil quando aparecem fatoriais é o teste da razão (razão de termos consecutivos). Vou usar esse teste para a série de módulos
.
Explicando o teste da razão (didaticamente):
- Seja
uma sequência. Defina supondo que esse limite exista (ou usar em casos gerais). - Se
então converge absolutamente (na verdade converge). - Se
então diverge. - Se
o teste é inconclusivo.
Aquiserá . A razão é natural porque fatoriais têm crescimento super-exponencial e a razão tende a zero.
Passo 3
Aplicando o teste da razão aos módulos
.
Calcular a razão:
Passo 4
Simplificar a expressão da razão e tomar o limite:
Agora o limite quando
é
porque o denominador cresce como
e vai para
.
Passo 5
Interpretação do resultado do teste:
- Obtivemos
. Pelo teste da razão, a série dos módulos converge. - Logo a série original
converge absolutamente (uma vez que converge).
Comentário extra (intuitivo e encorajador): os fatoriais crescem muito rápido, por isso mesmo somando só os termos correspondentes aos fatoriais ímpares a soma fica menor que a soma de todos os inversos de
, que é a série da exponencial e converge. Isso reforça a conclusão do teste da razão.
Resposta
A série é absolutamente convergente.