Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{(2 n-1)!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{(2n-1)!}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, e provar a resposta.
Informações relevantes dadas:
  • O termo geral (sem o sinal alternante separado) é a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{1}{(2n-1)!}.
  • Os módulos dos termos são |a_n| = \dfrac{1}{(2n-1)!}.
  • Quer-se classificar a convergência da série (absoluta, condicional ou divergente).

Passo 2

Definição e ideia que vou usar (explicada de forma clara):
  • Uma série \sum a_n é dita absolutamente convergente se a série dos módulos \sum |a_n| converge.
  • Se \sum |a_n| diverge mas \sum a_n converge, dizemos que a convergência é condicional.
  • Um teste prático muito útil quando aparecem fatoriais é o teste da razão (razão de termos consecutivos). Vou usar esse teste para a série de módulos |a_n|.
Explicando o teste da razão (didaticamente):
  • Seja b_n\ge0 uma sequência. Defina L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n},supondo que esse limite exista (ou usar \limsup em casos gerais).
  • Se L<1 então \sum b_n converge absolutamente (na verdade converge).
  • Se L>1 então \sum b_n diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
    Aqui b_n será |a_n|=\dfrac{1}{(2n-1)!}. A razão é natural porque fatoriais têm crescimento super-exponencial e a razão tende a zero.

Passo 3

Aplicando o teste da razão aos módulos b_n = |a_n| = \dfrac{1}{(2n-1)!}.
Calcular a razão:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\dfrac{1}{(2(n+1)-1)!}}{\dfrac{1}{(2n-1)!}} = \frac{(2n-1)!}{(2n+1)!}.

Passo 4

Simplificar a expressão da razão e tomar o limite:
\frac{(2n-1)!}{(2n+1)!} = \frac{1}{(2n+1)(2n)}.
Agora o limite quando n\to\infty é
L=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(2n+1)(2n)}=0,
porque o denominador cresce como 4n^2 e vai para +\infty.

Passo 5

Interpretação do resultado do teste:
  • Obtivemos L=0<1. Pelo teste da razão, a série dos módulos \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n-1)!} converge.
  • Logo a série original \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{1}{(2n-1)!} converge absolutamente (uma vez que \sum |a_n| converge).
Comentário extra (intuitivo e encorajador): os fatoriais crescem muito rápido, por isso mesmo somando só os termos correspondentes aos fatoriais ímpares a soma fica menor que a soma de todos os inversos de k!, que é a série da exponencial e converge. Isso reforça a conclusão do teste da razão.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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