Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{n^{2}+1}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{n^{2}+1}{n^{3}}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações dadas:
  • O termo geral é a_n = (-1)^{n}\dfrac{n^{2}+1}{n^{3}}.
  • Podemos escrever o módulo do termo como |a_n|=\dfrac{n^{2}+1}{n^{3}}=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{3}}.

Passo 2

Definições e estratégia de prova (mini-aula rápida):
  • Dizemos que uma série \sum a_n é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge.
  • Dizemos que é condicionalmente convergente se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge.
  • Para séries alternadas (entre sinais), o Teste de Leibniz (Teste da série alternada) dá uma condição simples de convergência: se b_n\ge0, b_{n+1}\le b_n (monótona não crescente) e \lim_{n\to\infty} b_n = 0, então \sum (-1)^n b_n converge.
  • Para testar divergência de \sum |a_n| podemos comparar com a série harmônica \sum \dfrac{1}{n}, que diverge.

Passo 3

Teste da convergência absoluta:
Calculemos a série de módulos:
\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{3}}\right).
Note que, termo a termo,
\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{3}}\ge \dfrac{1}{n}\qquad\text{para todo }n\ge1.
Como a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge, e |a_n|\ge \dfrac{1}{n} para todo n, pela comparação direta (se uma série com termos não negativos é maior termo a termo que uma série divergente, então ela também diverge) concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|\quad\text{diverge}.
Portanto a série não é absolutamente convergente.

Passo 4

Teste da convergência (série alternada) — aplicando Leibniz:
Escrevemos o termo positivo correspondente:
b_n=\dfrac{n^{2}+1}{n^{3}}=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{3}}>0.
Verificamos as hipóteses do Teste de Leibniz:
  1. Limite nulo: \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{3}}\right)=0+0=0.
  2. Monotonicidade: tanto \dfrac{1}{n} quanto \dfrac{1}{n^{3}} são sequências estritamente decrescentes para n\ge1. A soma de duas sequências decrescentes positivas é decrescente. Logo b_{n+1}\le b_n para todo n\ge1. (Alternativamente, pode-se checar b_{n+1}-b_n<0 diretamente.)
    Como ambas as condições são satisfeitas, pelo Teste de Leibniz a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} b_n = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{2}+1}{n^{3}}
converge.

Passo 5

Conclusão final e interpretação:
  • A série \sum (-1)^{n}\dfrac{n^{2}+1}{n^{3}} converge pelo Teste de Leibniz (série alternada com termos positivos decrescentes tendendo a zero).
  • Entretanto \sum |a_n|=\sum\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^{3}}\right) diverge porque domina a série harmônica.
    Logo a série converge, mas não absolutamente; isto é, ela é condicionalmente convergente.

Resposta

Condicionalmente convergente.

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