Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações dadas:
- O termo geral é
. - Podemos escrever o módulo do termo como
.
Passo 2
Definições e estratégia de prova (mini-aula rápida):
- Dizemos que uma série
é absolutamente convergente se converge. - Dizemos que é condicionalmente convergente se
converge mas diverge. - Para séries alternadas (entre sinais), o Teste de Leibniz (Teste da série alternada) dá uma condição simples de convergência: se
, (monótona não crescente) e , então converge. - Para testar divergência de
podemos comparar com a série harmônica , que diverge.
Passo 3
Teste da convergência absoluta:
Calculemos a série de módulos:
Calculemos a série de módulos:
Note que, termo a termo,
Como a série harmônica
diverge, e
para todo
, pela comparação direta (se uma série com termos não negativos é maior termo a termo que uma série divergente, então ela também diverge) concluímos que
Portanto a série não é absolutamente convergente.
Passo 4
Teste da convergência (série alternada) — aplicando Leibniz:
Escrevemos o termo positivo correspondente:
Escrevemos o termo positivo correspondente:
Verificamos as hipóteses do Teste de Leibniz:
- Limite nulo:
- Monotonicidade: tanto
quanto são sequências estritamente decrescentes para . A soma de duas sequências decrescentes positivas é decrescente. Logo para todo . (Alternativamente, pode-se checar diretamente.)
Como ambas as condições são satisfeitas, pelo Teste de Leibniz a série alternada
converge.
Passo 5
Conclusão final e interpretação:
- A série
converge pelo Teste de Leibniz (série alternada com termos positivos decrescentes tendendo a zero). - Entretanto
diverge porque domina a série harmônica.
Logo a série converge, mas não absolutamente; isto é, ela é condicionalmente convergente.
Resposta
Condicionalmente convergente.