Determine se a série dada converge ou diverge:
(a)
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
converge ou não. Isso está dentro do estudo de Séries Numéricas e, mais especificamente, da análise de convergência de séries. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns testes de convergência e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série. Temos
. Sabemos que a função seno,
, oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Então,
varia entre
e
. Assim, podemos dizer que:
Dividindo tudo por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos comparar essa série com a conhecida série harmônica:
. A série harmônica é famosa por ser divergente, ou seja, ela não converge para um número finito.
Como vimos no Passo 2, os termos da nossa série estão sempre maiores ou iguais a
. Isso significa que nossa série tem termos que não diminuem mais rápido do que os termos da série harmônica.
Passo 4
Para determinar a convergência ou divergência da nossa série, podemos usar o Teste da Comparação. Esse teste diz que se uma série maior ou igual a uma série divergente também diverge. No nosso caso, já que
e
diverge, então a nossa série
também diverge.
Resposta
A série
não converge; ela diverge.