Seja
. Calcule as duas integrais do enunciado do Teorema de Green, onde
é a região triangular de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e uma região triangular
com vértices em
,
e
. O objetivo é calcular as duas integrais que aparecem no Teorema de Green. Vamos usar cálculo vetorial para isso!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green nos diz. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor da fronteira de uma região com uma integral dupla sobre a região em si. Matematicamente, ele é dado por:
Aqui,
, então precisamos identificar
e
do nosso campo vetorial.
Passo 3
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a integral dupla:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green para a integral dupla:
Isso significa que a integral dupla é simplesmente 3 vezes a área da região
.
Passo 5
Vamos calcular a área do triângulo
com vértices em
,
e
. A fórmula da área de um triângulo com base
e altura
é:
Aqui, a base
(de
a
) e a altura
(de
a
). Então:
Passo 6
Agora, voltando à integral dupla:
Então, a integral dupla é
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral de linha ao redor da fronteira de
, ou seja,
. Pelo Teorema de Green, já sabemos que essa integral será igual à integral dupla que calculamos, desde que
seja uma região fechada e simples, o que é o caso aqui.
Passo 8
Portanto, temos:
Resposta
As duas integrais do Teorema de Green são iguais a
.