Seja F(x, y) = (2x + y, 3y + 4x). Calcule as duas integrais do enunciado do Teorema de Green, onde D é a região triangular de vértices (0,0),(1,0) e 0,1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e uma região triangular D com vértices em (0,0), 1,0 e 0,1. O objetivo é calcular as duas integrais que aparecem no Teorema de Green. Vamos usar cálculo vetorial para isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green nos diz. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor da fronteira de uma região com uma integral dupla sobre a região em si. Matematicamente, ele é dado por:
Aqui, , então precisamos identificar P e Q do nosso campo vetorial.

Passo 3

No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a integral dupla:

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green para a integral dupla:
Isso significa que a integral dupla é simplesmente 3 vezes a área da região D.

Passo 5

Vamos calcular a área do triângulo D com vértices em (0,0), 1,0 e 0,1. A fórmula da área de um triângulo com base b e altura h é:
Á
Aqui, a base (de (0,0) a 1,0) e a altura (de (0,0) a 0,1). Então:
Á

Passo 6

Agora, voltando à integral dupla:
Então, a integral dupla é 3/2.

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de linha ao redor da fronteira de D, ou seja, . Pelo Teorema de Green, já sabemos que essa integral será igual à integral dupla que calculamos, desde que D seja uma região fechada e simples, o que é o caso aqui.

Passo 8

Portanto, temos:

Resposta

As duas integrais do Teorema de Green são iguais a 3/2.

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