Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty(-27)^n-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular a soma dela. Vamos usar conceitos de séries geométricas, que é um tópico de cálculo de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série é uma série geométrica, pois cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a razão a1 = (-27)^1-1 = (-27)^0 = 1 e o primeiro termo r = -27 da série. Observando a série:
A razão é o fator pelo qual multiplicamos para chegar de um termo ao próximo. Aqui, cada termo é vezes o termo anterior, então:

Passo 4

Para saber se a série converge, vamos usar o teste da razão para séries geométricas. A série geométrica |r| = | -27 | = 27 < 1 converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
No nosso caso:
Como , a série converge.

Passo 5

Como a série é convergente, podemos calcular a sua soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a11 - r
Substituindo os valores que encontramos:
S = 11 - (-27) = 11 + 27 = 197 = 79

Resposta

A série é convergente e a sua soma é .

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