Determine se a série dada é convergente ou divergente.
2.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 n+1}}
é convergente ou divergente. Informações explícitas que temos:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} para n=1,2,3,\dots.
  • Os termos são positivos: a_n>0 para todo n.
    O que se pede: decidir se a soma infinita dos a_n converge (tem soma finita) ou diverge (vai para +\infty ou não tem limite).

Passo 2

Ideia do método: como os termos são positivos, podemos usar testes de comparação com séries conhecidas. A série mais natural para comparar é a série-p (p-series)
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{p}},
que tem o critério conhecido:
  • converge se p>1;
  • diverge se p\le 1.
    Vou comparar a_n com a série \sum 1/\sqrt{n}=\sum 1/n^{1/2}, que é uma p-série com p=\tfrac{1}{2} (logo divergente). Para fazer a comparação de forma rigorosa uso o teste de comparação por limite (limit comparison test).

Passo 3

Enunciando o teste de comparação por limite (de forma didática):
Se a_n>0 e b_n>0 e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L,
onde 0<L<+\infty (constante positiva finita), então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Aqui vou tomar b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}.

Passo 4

Calcular o limite de comparação:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}}{\dfrac{1}{\sqrt{n}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2n+1}}.
Para simplificar a expressão dentro da raiz, divido numerador e denominador dentro da raiz por n:
\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2n+1}} = \sqrt{\frac{n}{2n+1}} = \sqrt{\frac{1}{2+\tfrac{1}{n}}}.
Agora faço o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{1}{2+\tfrac{1}{n}}} = \sqrt{\frac{1}{2+0}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Logo o limite L=\dfrac{1}{\sqrt{2}} existe e é uma constante positiva finita.

Passo 5

Conclusão pelo teste de comparação por limite: como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{1}{\sqrt{2}}\in(0,+\infty),
a série \sum a_n e a série \sum b_n têm o mesmo comportamento. Sabendo que \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}} é uma p-série com p=\tfrac{1}{2}\le 1, essa p-série diverge. Portanto a série original também diverge.

Passo 6

Comentário alternativo (intuitivo, sem limite): para n grande, 2n+1 é da ordem de n, mais precisamente 2n+1\le 3n para todo n\ge1. Assim para n\ge1 vale
\sqrt{2n+1}\le\sqrt{3n}=\sqrt{3}\sqrt{n},
então
\frac{1}{\sqrt{2n+1}}\ge\frac{1}{\sqrt{3}\,\sqrt{n}}.
Como \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} diverge e a nossa série tem termos maiores (a partir de algum n) que uma constante vezes 1/\sqrt{n}, isso também indica divergência por comparação direta. É só uma verificação extra para reforçar a intuição.

Resposta

Divergente

Exercícios relacionados