Determine se a série dada é convergente ou divergente.
2.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 n+1}}
2.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2 n+1}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Informações explícitas que temos:
- O termo geral da série é
para . - Os termos são positivos:
para todo .
O que se pede: decidir se a soma infinita dosconverge (tem soma finita) ou diverge (vai para ou não tem limite).
Passo 2
Ideia do método: como os termos são positivos, podemos usar testes de comparação com séries conhecidas. A série mais natural para comparar é a série-p (p-series)
que tem o critério conhecido:
- converge se
; - diverge se
.
Vou compararcom a série , que é uma p-série com (logo divergente). Para fazer a comparação de forma rigorosa uso o teste de comparação por limite (limit comparison test).
Passo 3
Enunciando o teste de comparação por limite (de forma didática):
Se e
e
Se
onde
(constante positiva finita), então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Aqui vou tomar
.
Passo 4
Calcular o limite de comparação:
Para simplificar a expressão dentro da raiz, divido numerador e denominador dentro da raiz por
:
Agora faço o limite quando
:
Logo o limite
existe e é uma constante positiva finita.
Passo 5
Conclusão pelo teste de comparação por limite: como
a série
e a série
têm o mesmo comportamento. Sabendo que
é uma p-série com
, essa p-série diverge. Portanto a série original também diverge.
Passo 6
Comentário alternativo (intuitivo, sem limite): para
grande,
é da ordem de
, mais precisamente
para todo
. Assim para
vale
então
Como
diverge e a nossa série tem termos maiores (a partir de algum
) que uma constante vezes
, isso também indica divergência por comparação direta. É só uma verificação extra para reforçar a intuição.
Resposta
Divergente