Determine se a série dada é convergente ou divergente.
9.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+4 n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+4 n}}
e pede para determinar se essa série é convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+4n}}.
  • A série é uma soma infinita desde n=1 até +\infty.
  • Quer-se saber apenas o comportamento de convergência (convergente) ou divergência (divergente).

Passo 2

Escolha do método. Vou usar o teste da comparação (especificamente o teste de comparação limite com a série harmônica) porque:
  • É um método básico e direto para séries com termos que, para grandes n, se parecem com 1/n.
  • A série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é um exemplo clássico conhecido: ela diverge. Vou usar isso como referência.
Lembrete sobre a série harmônica e testes:
  • A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} (série p) converge se e somente se p>1. Para p=1 temos a série harmônica que diverge.
  • Teste da comparação por limite (limit comparison test): se a_n>0, b_n>0 para todo n e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L
com 0<L<+\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento quanto à convergência (ou seja, ou as duas convergem ou as duas divergem).

Passo 3

Aplicando o teste da comparação limite com a série harmônica. Defino
a_n=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+4 n}},\qquad b_n=\frac{1}{n}.
Ambos são positivos para n\ge1. Vou calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+4 n}}}{\dfrac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+4 n}}.

Passo 4

Cálculo do limite. Faço manipulação algébrica para simplificar:
\frac{n}{\sqrt{n^{2}+4 n}} =\frac{n}{\sqrt{n^{2}\bigl(1+\tfrac{4}{n}\bigr)}} =\frac{n}{n\sqrt{1+\tfrac{4}{n}}} =\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{4}{n}}}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{4}{n}}}=\frac{1}{\sqrt{1+0}}=1.
Logo o limite L existe, é finito e L=1>0.

Passo 5

Interpretação do resultado do teste da comparação limite: como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1\in(0,+\infty),
as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento quanto à convergência. Sabendo que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} (a série harmônica) diverge, concluímos que a série dada tem o mesmo comportamento de divergência.

Passo 6

(Observação alternativa — método por desigualdade direta, útil para a prova sem cálculo de limites)
Mostra-se também por comparação direta: para n\ge1 vale
(n+2)^{2}=n^{2}+4n+4>n^{2}+4n,
portanto
\sqrt{n^{2}+4n}<n+2\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{n^{2}+4n}}>\frac{1}{n+2}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n+2} difere da série harmônica apenas por termos iniciais finitos (é a série harmônica deslocada) e portanto diverge. Como os termos dados são maiores termo a termo do que os termos de uma série divergente, a série original também diverge (teste de comparação direta).

Resposta

A série diverge.

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