Determine se a série dada é convergente ou divergente.
9.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+4 n}}
9.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+4 n}}
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para determinar se essa série é convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral da série é
. - A série é uma soma infinita desde
até . - Quer-se saber apenas o comportamento de convergência (convergente) ou divergência (divergente).
Passo 2
Escolha do método. Vou usar o teste da comparação (especificamente o teste de comparação limite com a série harmônica) porque:
- É um método básico e direto para séries com termos que, para grandes
, se parecem com . - A série harmônica
é um exemplo clássico conhecido: ela diverge. Vou usar isso como referência.
Lembrete sobre a série harmônica e testes:
- A série
(série p) converge se e somente se . Para temos a série harmônica que diverge. - Teste da comparação por limite (limit comparison test): se
, para todo e
com
, então
e
têm o mesmo comportamento quanto à convergência (ou seja, ou as duas convergem ou as duas divergem).
Passo 3
Aplicando o teste da comparação limite com a série harmônica. Defino
Ambos são positivos para
. Vou calcular
Passo 4
Cálculo do limite. Faço manipulação algébrica para simplificar:
Agora tomo o limite quando
:
Logo o limite
existe, é finito e
.
Passo 5
Interpretação do resultado do teste da comparação limite: como
as séries
e
têm o mesmo comportamento quanto à convergência. Sabendo que
(a série harmônica) diverge, concluímos que a série dada tem o mesmo comportamento de divergência.
Passo 6
(Observação alternativa — método por desigualdade direta, útil para a prova sem cálculo de limites)
Mostra-se também por comparação direta: para vale
Mostra-se também por comparação direta: para
portanto
A série
difere da série harmônica apenas por termos iniciais finitos (é a série harmônica deslocada) e portanto diverge. Como os termos dados são maiores termo a termo do que os termos de uma série divergente, a série original também diverge (teste de comparação direta).
Resposta
A série diverge.