Determine se a série dada é convergente ou divergente.
3.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{n}}
3.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Informações que temos:
- O enésimo termo da série é
. - Para todo
, (termos positivos).
A pergunta é: a soma infinita desses termos converge (tem soma finita) ou diverge (soma infinita)?
Passo 2
Escolhendo o método: quando o termo geral envolve uma potência em que o índice
aparece no expoente (como
), o Teste da raiz (root test) costuma ser o mais direto, porque ele usa justamente a
-ésima raiz de
. Vou aplicar o Teste da raiz por ser curto e didático; depois eu mostro uma alternativa por comparação para reforçar a intuição.
Passo 3
Enunciando o Teste da raiz (explicado de forma simples):
- Seja
. Defina , se esse limite existir. - Se
, então converge absolutamente (logo converge). - Se
, então diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aquisignifica a raiz enésima de .
Passo 4
Aplicando o Teste da raiz ao nosso
:
Calcule a -ésima raiz:
Calcule a
Agora tome o limite quando
:
Como
, pelo Teste da raiz a série
converge absolutamente e, portanto, converge.
Passo 5
Explicação extra (intuição e alternativa por comparação, opcional mas útil):
- Intuição: cada termo
é absurdamente pequeno para grande; mais pequeno do que uma geometria com razão fixa menor que 1. - Alternativa por comparação simples: para
temos , então
Como a série geométrica
converge (razão
), pelo teste da comparação a série
também converge. Adicionando o termo
(que é finito) não altera a convergência da soma total. Isso confirma a conclusão do Teste da raiz.
Resposta
Convergente (convergência absoluta)