Determine se a série dada é convergente ou divergente.
3.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{n}}
é convergente ou divergente. Informações que temos:
  • O enésimo termo da série é a_n=\dfrac{1}{n^{n}}.
  • Para todo n\ge 1, a_n>0 (termos positivos).
    A pergunta é: a soma infinita desses termos converge (tem soma finita) ou diverge (soma infinita)?

Passo 2

Escolhendo o método: quando o termo geral envolve uma potência em que o índice n aparece no expoente (como n^{n}), o Teste da raiz (root test) costuma ser o mais direto, porque ele usa justamente a n-ésima raiz de a_n. Vou aplicar o Teste da raiz por ser curto e didático; depois eu mostro uma alternativa por comparação para reforçar a intuição.

Passo 3

Enunciando o Teste da raiz (explicado de forma simples):
  • Seja a_n\ge 0. Defina L=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}, se esse limite existir.
  • Se L<1, então \sum a_n converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, então \sum a_n diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui \sqrt[n]{a_n} significa a raiz enésima de a_n.

Passo 4

Aplicando o Teste da raiz ao nosso a_n=\dfrac{1}{n^{n}}:
Calcule a n-ésima raiz:
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{1}{n^{n}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{n^{n}}}=\frac{1}{n}.
Agora tome o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Como 0<1, pelo Teste da raiz a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{n}} converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 5

Explicação extra (intuição e alternativa por comparação, opcional mas útil):
  • Intuição: cada termo 1/n^{n} é absurdamente pequeno para n grande; mais pequeno do que uma geometria com razão fixa menor que 1.
  • Alternativa por comparação simples: para n\ge 2 temos n^n \ge 2^n, então
\frac{1}{n^{n}} \le \frac{1}{2^{n}} \quad\text{para } n\ge 2.
Como a série geométrica \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n}} converge (razão 1/2), pelo teste da comparação a série \sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{n^{n}} também converge. Adicionando o termo n=1 (que é finito) não altera a convergência da soma total. Isso confirma a conclusão do Teste da raiz.

Resposta

Convergente (convergência absoluta)

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