Determine a série de Fourier de f no intervalo indicado.
f(x)=\left\{\begin{array}{lr}0, & -\pi<x<0 \\\ \operatorname{sen} x, & 0 \leq x<\pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de
f(x)= \begin{cases} 0,&-\pi<x<0,\\\ \operatorname{sen} x,&0\le x<\pi, \end{cases}
considerada periódica de período 2\pi. Para isso vamos usar a definição padrão:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Cálculo de a_0. Como f(x)=0 em (-\pi,0) e f(x)=\operatorname{sen} x em (0,\pi),
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} x\,dx =\frac{1}{\pi}\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\pi} =\frac{1}{\pi}\bigl[(-\cos\pi)-(-\cos0)\bigr] =\frac{1}{\pi}(1+1) =\frac{2}{\pi}.

Passo 3

Cálculo de a_n para n\ge1:
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} x\cos(nx)\,dx.
Usando \operatorname{sen} x\cos(nx)=\tfrac12\bigl[\operatorname{sen}((n+1)x)+\operatorname{sen}((1-n)x)\bigr] e sabendo que \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(kx)\,dx=\tfrac{1-(-1)^k}{k}, obtemos após simplificar
a_n=-\frac{1}{\pi}\,\frac{1+(-1)^n}{n^2-1}.
Logo a_n=0 se n é ímpar, e se n=2m é par então
a_{2m}=-\frac{2}{\pi\,(4m^2-1)}.

Passo 4

Cálculo de b_n para n\ge1:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} x\sin(nx)\,dx.
Para n\neq1 usa-se a identidade \operatorname{sen} x\sin(nx)=\tfrac12[\cos((n-1)x)-\cos((n+1)x)] e vê‐se que a integral anula. Para n=1 temos
b_1=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}^2x\,dx =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac12.
Portanto
b_n=\begin{cases} \tfrac12,&n=1,\\\\ 0,&n\ge2. \end{cases}

Passo 5

Juntando tudo, a série de Fourier de f é
f(x) =\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr] =\frac{1}{\pi} +\frac12\operatorname{sen} x -\frac{2}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\cos(2m x)}{4m^2-1}.

Resposta

\boxed{ f(x) =\frac{1}{\pi} +\frac12\operatorname{sen} x -\frac{2}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\cos(2m x)}{4m^2-1}. }

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